Pré-requis

On suppose connu les notions de groupe, sous-groupe, groupe quotient et sous-groupe engendré par une partie.

On suppose connu le théorème de Lagrange.

On suppose connu la structure de groupe abélien de \( ({\mathbb Z}; +) \) et \( ({\mathbb Z}^*; \times) \).

Par soucis de clareté, on note par \( k[n] \) la classe d'équivalence de \( k \) modulo \( n \).

1. Groupe monogène

a) Cas des entiers relatifs

1. Théorème - Les sous-groupes de \( ({\mathbb Z}; +) \) sont exactement les sous-groupes \( n{\mathbb Z} \), pour tout \( n\in{\mathbb N} \).

2. Corollaire n^o1
Pour tout \( a\in{\mathbb N}^* \) et \( b\in{\mathbb N}^* \), \( a{\mathbb Z}\cap b{\mathbb Z} \) est un sous-groupe de \( {\mathbb Z} \).
Donc il existe un entier, noté \( a\vee b \), appelé ppcm de \( a \) et \( b \), tel que :

\( \displaystyle a{\mathbb Z}\cap b{\mathbb Z} = a\vee b {\mathbb Z} \)

3. Corollaire n^o2
Pour tout \( a\in{\mathbb N}^* \) et \( b\in{\mathbb N}^* \), \( a{\mathbb Z} + b{\mathbb Z} \) est un sous-groupe de \( {\mathbb Z} \).
Donc il existe un entier, noté \( a\wedge b \), appelé pcgd de \( a \) et \( b \), tel que :

\( \displaystyle a{\mathbb Z} + b{\mathbb Z} = a\wedge b {\mathbb Z} \)

b) Cas général

1. Définition - Un groupe \( (G; .) \) est dit monogène s'il existe \( a\in G \) tel que :

\( \displaystyle G = \left\{ a^k ~|~ k\in{\mathbb Z} \right\} \)

On dit que \( G \) est engendré par \( a \) et que \( a \) est un générateur de \( G \).
On note \( G = <a> \).

3. Exemple
\( (n{\mathbb Z}; +) \) est un sous-groupe monogène de \( ({\mathbb Z}; +) \) engendré par \( n \) et \( -n \).
Autrement dit, \( n{\mathbb Z} = <n> = <-n> \).

2. Groupe cyclique

Dans toute la suite, \( n\in{\mathbb N}^* \).

a) Cas des entiers relatifs

1. Rappel - \( ({{\mathbb Z}}_{/n{\mathbb Z}}; +) \) est un groupe abélien fini de cardinal \( n \).

2. Théorème - \( ({{\mathbb Z}}_{/n{\mathbb Z}}; +) \) est monogène engendré par tout \( k[n] \) tel que \( k \wedge n = 1 \).

b) Cas général

1. Définition - Un groupe monogène \( (<a>; .) \) est dit cyclique s'il est fini.

3. Remarque - Posons \( N_a = \left\{n\in{\mathbb N} ~|~ a^n \neq 1\right\} \).

\( N_a \) est non vide (car \( 1\in{\mathbb N} \)) et est fini car \( <a> \) est cyclique.
Il admet donc un plus grand élément, que l'on appellera ordre de \( <a> \).

4. Propriété - Tous les éléments générateurs de \( (<a>, .) \) ont le même ordre, qui est le cardinal de \( <a> \).

3. Isomorphisme

Considérons l'application \( \phi : ({\mathbb Z}; +) \rightarrow (<a>; .) \) définie par \( \phi(k) = a^k \).

1. Propriété - \( \phi \) est un morphisme de groupes surjectif.

2. Remarque - \( \exists n\in{\mathbb N} \) tel que \( \ker \phi = n{\mathbb Z} \).

4. Quelques exemples

a) Les racines de l'unité

Dans le plan complexe, considérons \( n\in{\mathbb N}^* \) et posons :

\( \displaystyle \mathbb{U}_n = \left\{e^{i\pi \frac{k}{n}} ~|~ k\in{\mathbb Z}\right\} \)

\( (\mathbb{U}_n; \times) \) est un groupe cyclique isomorphe à \( {\mathbb Z}/_{n{\mathbb Z}} \).

b) Le théorème des restes chinois

Considérons \( a\in{\mathbb N}^* \) et \( b\in{\mathbb N}^* \).

Si \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux, alors \( {\mathbb Z}/_{a{\mathbb Z}} \times {\mathbb Z}/_{b{\mathbb Z}} \) est un groupe cyclique isomorphe à \( {\mathbb Z}/_{ab{\mathbb Z}} \).

Sans la primalité, il peut se passer n'importe quoi. Il suffit de faire la table de Pythagore de \( {\mathbb Z}/_{2{\mathbb Z}}\times{\mathbb Z}/_{2{\mathbb Z}} \) pour s'en convaincre.

c) Groupe fini

On a montré que tout groupe cyclique est isomorphe à \( ({{\mathbb Z}}_{/n{\mathbb Z}}; +) \), où \( n \) désigne son cardinal. Mais qu'en est-il pour un groupe fini quelconque ?

Théorème - Tout groupe fini \( G \) de cardinal \( p \) premier est cyclique.

d) Corps fini

Théorème - Soit \( (K; +; \times) \) un corps fini. Alors \( (K^*; \times) \) est cyclique.

Corollaire - Si \( p \) est premier, alors \( ({\mathbb Z}/_{p{\mathbb Z}}; +; \times) \) est un corps et \( ({{\mathbb Z}/_{p{\mathbb Z}}}^*; \times) \) est un groupe cyclique isomorphe à \( ({\mathbb Z}/_{(p-1){\mathbb Z}}; +) \).