Introduction

Dans tout ce qui suit, \( a \), \( b \), \( c \) désignent des fonctions continues d'un intervalle \( I\subset{\mathbb R} \) à valeurs dans \( {\mathbb K} = {\mathbb R} \) ou \( {\mathbb C} \).

Nous cherchons les fonctions \( x\in\mathcal{C\,}^2(I; {\mathbb K}) \) vérifiant l'équation différentielle linéaire :

\( \displaystyle (E) ~~ \forall t\in I ~~ ~~ ~~ \)\( \displaystyle x''(t) + a(t) x'(t) + b(t) x(t) = c(t) \)

Nous désignons par équation différentielle linéaire homogène :

\( \displaystyle (H) ~~ \forall t\in I ~~ ~~ ~~ \)\( \displaystyle x''(t) + a(t) x'(t) + b(t) x(t) = 0 \)

Enfin, définissons pour tout \( t\in I \) :

\( \displaystyle X(t) = \begin{pmatrix}x(t)\\x'(t)\end{pmatrix} \)

\( \displaystyle X'(t) = \begin{pmatrix}x'(t)\\x''(t)\end{pmatrix} \)

La résolution de \( (E) \) équivaut à celle du système différentiel d'ordre 1 :

\( \displaystyle (S) ~~ \forall t\in I ~~ ~~ ~~ \)\( \displaystyle X'(t) = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ - b(t) & - a(t) \end{pmatrix} \times X(t) + \begin{pmatrix}0 \\c(t) \end{pmatrix} \)

1. Etude théorique

a) Problème de Cauchy

1. Définition - Pour tout \( (t_0; X_0)\in I\times{\mathbb K}^2 \), le problème de Cauchy est la recherche des solutions de \( (S) \) vérifiant \( X(t_0) = X_0 \).

2. Théorème [de Cauchy-Lipschitz linéaire] - Tout problème de Cauchy admet une unique solution.

Autrement dit, si deux solutions de \( (E) \) coïncident en un point et ont des dérivées égales en ce point, alors elles sont identiques.

b) Structure de l'équation \( (H) \)

1. Théorème - L'ensemble des solutions de \( (H) \), noté \( \mathcal{S}_H \), est un \( {\mathbb K} \)-espace vectoriel de dimension 2.

2. Définition - On appelle système fondamental de solutions toute base de \( \mathcal{S}_H \).

Autrement dit, si \( (x_1, x_2) \) est système fondamental de \( (H) \), alors :

\( \displaystyle \mathcal{S}_H = \left\{ \alpha x_1 + \beta x_2 ~~|~~ (\alpha; \beta)\in{\mathbb K}^2 \right\} \)

c) Structure de l'équation \( (E) \)

Théorème - L'ensemble des solutions de \( (E) \), noté \( \mathcal{S} \), est un \( {\mathbb K} \)-espace affine de direction \( \mathcal{S}_H \).

Autrement dit, si \( (x_1, x_2) \) est système fondamental de \( (H) \) et \( x_0 \) une solution particulière \( (E) \), alors :

\( \displaystyle \mathcal{S} = \left\{ x_0 + \alpha x_1 + \beta x_2 ~~|~~ (\alpha; \beta)\in{\mathbb K}^2 \right\} \)

2. Zoom sur le système fondamental

Considérons deux fonctions \( x_1, x_2\in\mathcal{C}^1(I; {\mathbb K}) \) .

1. Définition - On appelle wronskien de \( x_1, x_2 \) la fonction \( W \) définie sur \( I \) par :

\( \displaystyle W(t) = \begin{vmatrix}x_1(t) & x_2(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) \end{vmatrix} \)\( \displaystyle = x_1(t) x_2'(t) - x_1'(t) x_2(t) \)

2. Théorème - Si \( (x_1, x_2) \) est un système fondamental de \( (H) \), alors \( W \) vérifie l'équation différentielle :

\( \displaystyle (H_0) ~~ \forall t\in I, ~~~~ x'(t) + a x(t) = 0 \)

Dans ce cas, \( W(t) = k e^{-A(t)} \) où \( k\in{\mathbb R} \) et \( A\in\mathcal{C}^1(I; {\mathbb R}) \) est une primitive de \( a \).

3. Zoom sur \( (H) \)

a) Coefficients constants

Supposons que \( a \) et \( b \) soient constantes. Alors :

\( \displaystyle (S) ~~ \forall t\in I ~~ ~~ ~~ \)\( \displaystyle X'(t) = \overbrace{\begin{pmatrix}0 & 1 \\ - b & - a \end{pmatrix}}^{M} \times X(t) + \begin{pmatrix}0 \\c(t) \end{pmatrix} \)

Le polynôme caractéristique de \( M \) est \( P(\lambda) = \lambda^2 + a\lambda + b \).

L'équation \( P(\lambda) = 0 \) s'appelle équation caractéristique de \( (H) \),

2. Cas réel - Supposons que \( (a; b)\in{\mathbb R}^2 \).

Si le discriminant de \( P \) est positif ou nul, le cas précédent s'applique et founit des fonctions à valeurs réelles. Sinon, le système fondamental est à valeurs complexes - ce qui manque de cohérence.

Si \( \lambda_1 \) et \( \lambda_2 \) sont deux racines complexes conjuguées, posons :

\( \displaystyle \alpha = \mathfrak{Re}(\lambda_1) = \mathfrak{Re}(\lambda_2) \)

\( \displaystyle \omega = \mathfrak{Im}(\lambda_1) = -\mathfrak{Im}(\lambda_2) \)

Alors \( \left(e^{\alpha t}cos(\omega t); e^{\alpha t}sin(\omega t)\right) \) est un système fondamental de \( (H) \) à valeurs réelles.

b) Méthode de Lagrange

Si \( x_1 \) est une solution de \( (H) \) ne s'annulant pas sur \( I \), alors considérons \( x_2 = k x_1 \) où \( k\in \mathcal{C}^2(I; {\mathbb K}). \)

On raisonne par analyse-synthèse en supposant que \( (x_1; x_2) \) est un système fondamental de \( (H) \) et l'on obtient une équation différentielle du premier ordre en \( k' \) que l'on essaye de résoudre.

Exemple : \( \small\forall t\in]-1; +\infty[ ~~ ~~ ~~ ~~ \) \( x''(t) - \dfrac{1}{t+1} x'(t) - \dfrac{t}{t+1}x(t) = 0 \)

4. Zoom sur \( (E) \)

a) Superposition des solutions

Considérons \( c_1; c_2\in\mathcal{C}^0(I; {\mathbb R}) \) telles que \( c = c_1 + c_2 \).

Si \( x_1 \) et \( x_2 \) sont des solutions respectives de

\( \displaystyle (E_1) ~~ \forall t\in I ~~ ~~ ~~ \)\( \displaystyle x''(t) + a(t) x'(t) + b(t) x(t) = c_1(t) \)

\( \displaystyle (E_2) ~~ \forall t\in I ~~ ~~ ~~ \)\( \displaystyle x''(t) + a(t) x'(t) + b(t) x(t) = c_2(t) \)

Alors \( x_1 + x_2 \) est une solution de \( (E) \).

b) Variation des constantes

Considérons \( (x_1; x_2) \) est un système fondamental de \( (H) \).

1. Théorème - Il existe un unique couple \( k, l \in\mathcal{C}^0(I; {\mathbb K}) \) tels que

\( \displaystyle \forall t\in I ~~ ~~ \)\( \displaystyle \begin{pmatrix}x_1(t) & x_2(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) \end{pmatrix}\begin{pmatrix}k(t) \\ l(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ c(t) \end{pmatrix} \)

2. Propriété - En notant \( K \) et \( L \) des primitives respectives de \( k \) et \( l \), alors \( x_0 = K x_1 + L x_2 \) est une solution de \( (E) \).

3. Exemple : \( \forall t\in]-\dfrac{\pi}{2}; +\dfrac{\pi}{2}[ ~~ ~~ ~~ ~~ \) \( x''(t) + x(t) = \dfrac{1}{\cos t} \)

5. Lien avec les séries entières

On utilise l'équation différentielle pour obtenir une expression "simple" du développement en série entière d'une solution particulière de \( (E) \) ou \( (H) \).

Exemple [Bessel] - Fixons \( n\in{\mathbb N} \).

\( \displaystyle (H) ~~ \forall t\in]0; +\infty[ ~~ ~~ ~~ ~~ \)\( \displaystyle x''(t) + \frac{1}{t} x'(t) + \left(1 - \frac{n^2}{t^2}\right)\,x(t) = 0 \)