Les séries entières

Dans tout ce qui suit, \( {\mathbb K} \) désigne indifféremment \( {\mathbb R} \) ou \( {\mathbb C} \).

De même, on considère deux suites \( (a_n)\in{\mathbb K}^{{\mathbb N}} \) et \( (b_n)\in{\mathbb K}^{{\mathbb N}} \).

1. Rayon de convergence

1. Définition - On appelle série entière la série de fonctions définie pour tout \( x\in {\mathbb K} \) par \( \sum a_n x^n \).

2. Lemme [d'Abel]
S'il existe \( x_0\in{\mathbb K} \) telle que la suite \( (a_n x^n) \) soit bornée, alors \( \forall x\in{\mathbb K} \),

\( |x| < x_0 \Longrightarrow \sum a_n x^n \) converge absolument

Ce lemme justifie la définition suivante :

3. Définition - On appelle rayon de convergence de la série entière :

\( \displaystyle \rho = \sup\left\{r\in[0; +\infty[ ~~|~~ (a_n r^n)\,\text{est bornée}\right\} \)

Remarquons que cette borne supérieure n'est pas forcément finie.
Autrement dit, \( \rho\in[0; +\infty] \).

4. Théorème - Pour tout \( x\in{\mathbb K} \),

\( |x| < \rho \Longrightarrow \sum a_n x^n \) converge absolument.
\( |x| > \rho \Longrightarrow \sum a_n x^n \) diverge grossièrement.

Notons que si \( |x| = \rho \), on ne peut pas conclure.

5. Définition - On appelle disque de convergence de la série entière :

\( \displaystyle \mathcal{B}(0, \rho) = \left\{x\in{\mathbb K} ~~|~~ |x| < \rho \right\} \)

6. Corollaire
La série entière \( \sum a_n x^n \) converge normalement sur tout disque fermé inclus dans son disque de convergence.
De plus, elle est continue sur son disque de convergence.

Pour conclure, une technique récurrente pour déterminer le rayon de converge est l'utilisation du critère de d'Alembert, que l'on énonce ainsi dans le cas particulier des séries entières :

7. Propriété - Si \( \dfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} \rightarrow \lambda \), alors \( \rho = \frac{1}{\lambda} \).

2. Comparaisons et opérations

Dans tout ce qui suit, on désigne respectivement par \( \rho_a \) et \( \rho_b \) les rayons de convergence des séries \( \sum a_n x^n \) et \( \sum b_n x^n \).

1. Théorème [de comparaison]

Si \( (a_n) = O(b_n) \), alors \( \rho_a \geqslant \rho_b \).
Si \( (a_n) \sim (b_n) \), alors \( \rho_a = \rho_b \).

2. Théorème [somme]
La série somme des \( \sum a_n x^n \) et \( \sum b_n x^n \) est définie par \( \sum \left(a_n +b_n\right) x^n \).
Notons \( \rho \) son rayon de convergence. Alors,

\( \rho \geqslant \min\{\rho_a, \rho_b\} \)
\( \forall x\in\mathcal{B}(0, \rho) \), \( \displaystyle\sum_{n\in{\mathbb N}} \left(a_n +b_n\right) x^n = \sum_{n\in{\mathbb N}} a_n x^n + \sum_{n\in{\mathbb N}} b_n x^n \).

3. Théorème [produit]
La série produit des \( \sum a_n x^n \) et \( \sum b_n x^n \) est définie par \( \sum\left(\sum_{k=0}^{n} a_k \times b_{n-k}\right) x^n \).
Notons \( \rho \) son rayon de convergence. Alors,

\( \rho \geqslant \min\{\rho_a, \rho_b\} \)
\( \forall x\in\mathcal{B}(0, \rho) \), \( \displaystyle\sum_{n\in{\mathbb N}} \left(\sum_{k=0}^{n} a_k \times b_{n-k}\right) x^n = \sum_{n\in{\mathbb N}} a_n x^n \times \sum_{n\in{\mathbb N}} b_n x^n \)

Dans tout ce qui suit, on s'intéresse au cas particulier \( {\mathbb K} = {\mathbb R} \).

3. Régularité

Notons \( f \) la fonction définie sur \( {\cal B}(0, \rho) \) par :

\( \displaystyle f(x) = \sum_{n\in{\mathbb N}} a_n x^n \)

1. Théorème [dérivée]
La série dérivée de \( \sum a_n x^n \) a pour rayon de convergence \( \rho = \rho_a \).
De plus, pour tout \( x\in\mathcal{B}(0, \rho) \),

\( \displaystyle f'(x) = \sum_{n\in{\mathbb N}} (n+1) a_{n+1} x^n \)

Un corollaire est immédiat : les séries entières sont des fonctions de classe \( \cal C^{\infty} \) sur leur disque de convergence.

On peut même renverser ce résultat par récurrence en évaluant \( f \) et ses dérivées successives en \( x = 0 \).

2. Propriété - Pour tout \( n\in{\mathbb N} \), \( a_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} \).

Enfin, comment ne pas parler de recherche de primitive une fois parler de recherche de dérivée ? Cela ne se peut ! Ainsi..

3. Théorème [primitive] - Notons par \( F \) une primitive de \( f \).
Alors,

\( \displaystyle F(x) = F(0) + \sum_{n\in{\mathbb N}^*} \frac{a_{n-1}}{n} x^n \)

4. Développement en série entière

Une série entière est une fonction de classe \( \cal C^{\infty} \) sur son disque de convergence. Mais la réciproque est-elle vraie ?

On considère un intervalle \( I\subset{\mathbb R} \) et \( f\in\mathcal{C}(I; {\mathbb R}) \).

1. Définition - On dit que \( f \) est développable en série entière en 0 s'il existe un intervalle \( ]-\rho; +\rho[\subset I \) telle que pour tout \( |x|<\rho \),

\( \displaystyle f(x) =\sum_{n\in{\mathbb N}} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \)

2. Attention - Une fonction de classe \( {\cal C}^{\infty} \) n'est pas forcément développable en série entière.

3. Autour du logarithme népérien

À retenir

\( x\in]-1; 1[ \), \( \displaystyle\frac{1}{1-x} = \sum_{n\in{\mathbb N}} x^n \)
\( x\in]-1; 1[ \), \( \displaystyle\ln(1-x) = \sum_{n\in{\mathbb N}^*}\frac{-1}{n}x^n \)
\( x\in]-1; 1[ \), \( \displaystyle\ln(1+x) = \sum_{n\in{\mathbb N}^*}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n \)

4. Autour de l'exponentielle

À retenir

\( x\in{\mathbb R} \), \( \displaystyle\exp(x) = \sum_{n\in{\mathbb N}} \frac{1}{n!}x^n \)
\( x\in{\mathbb R} \), \( \displaystyle\cos(x) = \sum_{n\in{\mathbb N}} \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \)
\( x\in{\mathbb R} \), \( \displaystyle\sin(x) = \sum_{n\in{\mathbb N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \)
\( x\in{\mathbb R} \), \( \displaystyle\cosh(x) = \sum_{n\in{\mathbb N}} \frac{1}{(2n)!}x^{2n} \)
\( x\in{\mathbb R} \), \( \displaystyle\sinh(x) = \sum_{n\in{\mathbb N}} \frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1} \)