Les fonctions ont déjà été étudiées au collège. On suppose connu le vocabulaire usuel (image, antécédent).

Dans toute la leçon, \( E \) désigne une partie de \( {\mathbb R} \).

Pour rappel, la courbe représentative d'une fonction \( f : E\rightarrow{\mathbb R} \) dans un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) est l'ensemble des points \( P(x; f(x)) \), où \( x\in E \).
Elle est noté \( {\cal C}_f \).

1. Parité d'une fonction

a) Définition - Une fonction \( f : E\rightarrow{\mathbb R} \) est paire si pour tout \( x \in E \),

+ \( -x\in E \)
+ \( f(-x) = f(x) \)

Autrement dit, il faut que \( E \) et \( {\cal C}_f \) soient tous les deux symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple : \( f: {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R} \) définie par \( f(x) = x^2 + 7 \) est paire !
En effet,

+ \( {\mathbb R} \) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
+ Pour tout \( x \in {\mathbb R} \), \( f(-x) = (-x)^2+7 = x^2+7 = f(x) \).

b) Définition - Une fonction \( f : E\rightarrow{\mathbb R} \) est impaire si pour tout \( x \in E \),

+ \( -x\in E \)
+ \( f(-x) = -f(x) \)

Autrement dit, il faut que \( E \) et \( {\cal C}_f \) soient tous les deux symétriques par rapport à l'origine.

Exemple : \( f: {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R} \) définie par \( f(x) = x^3 + x \) est impaire !
En effet,

+ \( {\mathbb R} \) est symétrique par rapport à l'origine.
+ Pour tout \( x \in {\mathbb R} \), \( f(-x) = (-x)^3+(-x) = -x^3-x = -(x^3 + x) = -f(x) \).

c) Attention !
Certaines fonctions ne sont ni paires, ni impaires. Il suffit que leurs représentations graphiques ne soient pas symétriques par rapport à l'origine ou à l'axe des ordonnées.
On pensera par exmple aux fonctions affines !

2. Variations d'une fonction

Définitions : considérons une fonction \( f : E\rightarrow{\mathbb R} \) et un intervalle \( I\subset E \).
a) \( f \) est croissante sur \( I \) si pour tout \( a \in I \) et \( b \in I \)

\( a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b) \)

b) \( f \) est décroissante sur \( I \) si pour tout \( a \in I \) et \( b \in I \)

\( a \leq b \Rightarrow f(a) \geq f(b) \)

À retenir : en pratique, on calcule \( f(b) - f(a) \) et on cherche si cette différence est positive ou négative.

Exemple : \( f: {\mathbb R}\rightarrow{\mathbb R} \) définie par \( f(x) = x +7 \) est croissante sur \( {\mathbb R} \). En effet, pour tout \( a \in {\mathbb R} \) et \( b \in {\mathbb R} \) tels que \( a \leq b \),

\( f(b) - f(a) = (b+7) - (a - 7) = b+ 7 - a - 7 = b - a \geq 0 \)