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Un système d'équations est la donnée de plusieurs équations avec plusieurs inconnues. On cherche alors à trouver les solutions vérifiants toutes les équations simultanément.
Dans ce chapitre, on se limite aux systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues.
Remarque préalable
- Si un système est linéaire, le nombre d'inconnues importe peu. Les techniques sont toujours les mêmes.
- Si un système n'est pas linéaire… bon courage !
1. Le problème
Considérons six nombres réels \( a_1 \), \( a_2 \), \( a_3 \), \( b_1 \), \( b_2 \), \( b_3 \).
On cherche les couples de nombres réels \( (x, y) \) tels que :
\( \left\{ \begin{array}{rcl} a_1 x + a_2 y & = & a_3 \\ b_1 x + b_2 y & = & b_3 \end{array} \right. \)
Il y a trois cas possibles :
- Aucune solution.
- Une unique solution.
- Une infinité de solutions.
Il faut interpréter ce système géométriquement comme l'intersection de deux droites :
- Elles sont parallèles (aucune intersection).
- Elles se croisent (une unique intersection).
- Elles se superposent (une infinité d'intersecton).
2. Technique de résolution no1 : la combinaison.
En notant \( L_a \) la ligne de la première équation, et \( L_b \) la ligne de la seconde équation, on calcule :
- \( b_1\times L_1 - a_1\times L_2 \) pour isoler \( y \)
- \( b_2\times L_1 - a_2\times L_2 \) pour isoler \( x \)
On obtient alors deux équations avec une seule inconnue, que l'on sait résoudre.
Exemple ! On cherche à résoudre :
\( \left\{ \begin{array}{rcl} 3 x + 2 y & = & 17 \\ 4 x + 3 y & = & 24 \end{array} \right. \)
Effectuons nos combinaisons !
\( 4\times L_1 - 3\times L_2 \) pour isoler \( y \)
\( 3\times L_1 - 2\times L_2 \) pour isoler \( x \)
\( \left\{ \begin{array}{rcl} 12 x + 8 y & = & 68 \\ -12 x -9 y & = & -72 \end{array} \right. \)
\( \left\{ \begin{array}{rcl} 9 x + 6 y & = & 51 \\ -8 x - 6 y & = & -48 \end{array} \right. \)
Donc \( 0x -1y = -4 \), i.e. \( y = 4 \).
Donc \( 1x +0y = 3 \), i.e \( x = 3 \).
À retenir : cette méthode est rapide et évite l'utilisation des fractions !
2. Technique no2 - la substitution
a) Méthode : on isole dans une ligne une variable, puis on injecte l'expression obtenue dans l'autre ligne.
Dans l'exemple précédent :
Etape n°1
On isole \( y \) dans \( L_a \) :
| \( 3 x + 2 y \) | \( = 17 \) |
| \( 2 y \) | \( = 17 - 3x \) |
| \( y \) | \( = \dfrac{17}{2} - \dfrac{3}{2}x \) |
Etape n°2
On injecte l'expression de \( y \) dans \( L_b \) :
| \( 4 x + 3 y \) | \( = 24 \) |
| \( 4 x + 3 \times\left(\dfrac{17}{2} - \dfrac{3}{2}x\right) \) | \( = 24 \) |
| \( 4 x + \dfrac{51}{2} - \dfrac{9}{2}x \) | \( = 24 \) |
| \( \dfrac{-1}{2}x \) | \( = 24 - \dfrac{51}{2} \) |
| \( \dfrac{-1}{2}x \) | \( = \dfrac{-3}{2} \) |
| \( x \) | \( = \dfrac{-3}{2}\div \dfrac{-1}{2} \) |
| \( x \) | \( = 3 \) |
Enfin, on trouve \( y = \dfrac{17}{2} - \dfrac{3}{2}\times 3 = 4 \).
À retenir ? Cette méthode est… lourde ?
b) Variante : on isole dans les deux lignes la même variable que l'on compare ensuite. On dit parfois qu'il s'agit de la technique par comparaison.
Dans l'exemple précédent :
On isole \( y \) dans \( L_a \) :
On isole \( y \) dans \( L_b \) :
| \( 3 x + 2 y \) | \( = 17 \) |
| \( 2 y \) | \( = 17 - 3x \) |
| \( y \) | \( = \dfrac{17}{2} - \dfrac{3}{2}x \) |
| \( 4 x + 3 y \) | \( = 24 \) |
| \( 3 y \) | \( = 24 - 4x \) |
| \( y \) | \( = \dfrac{24}{3} - \dfrac{4}{3}x \) |
Ensuite, on égalise !
| \( y \) | \( =y \) |
| \( \dfrac{17}{2} - \dfrac{3}{2}x \) | \( = \dfrac{24}{3} - \dfrac{4}{3}x \) |
| \( \dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{2}x \) | \( = \dfrac{24}{3} - \dfrac{17}{2} \) |
| \( \dfrac{-1}{6}x \) | \( = \dfrac{-3}{6} \) |
| \( x \) | \( = \dfrac{-3}{6}\div\dfrac{-1}{6} = 3 \) |
Enfin, on trouve \( y = \dfrac{17}{2} - \dfrac{3}{2}\times 3 = 4 \).
À retenir : cette méthode est plus riche en information, car elle fournit les équations réduites des droites dont on étudie l'ntersection.
Malheureusement, il y a souvent des fractions à calculer.