À la manière d'Al-Khwârizmî qui écrivit son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison (entre 813 et 833) pour expliquer la résolution des équations de son époque, passons en revue quelques techniques accessibles en cinquième.
1. Type "a + x = b "
Méthode 1 - Pour résoudre une équation du type "\( a + x = b \)", il faut compenser par \( -a \) chaque membre de l'équation.
Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( 11 + x = 9 \).
\( \begin{align} 11 + x &= 9 \\ 11 + x ~\color{green}{- 11} &= 9 ~\color{green}{- 11}\\ x &= -2 \end{align} \)
La solution de l'équation est \( x = -2 \).
2. Type "a x = b "
Attention ! Cela n'a de sens que si \( a \neq 0 \), évidemment
Méthode 2 - Pour résoudre une équation du type "\( a \times x = b \)", il faut compenser par \( \div a \) chaque membre de l'équation.
Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( 11 x = 9 \).
\( \begin{align} 11 \times x &= 9 \\ 11 \times x ~\color{green}{\div 11} &= 9 ~\color{green}{\div 11}\\ x &= \frac{9}{11} \end{align} \)
La solution de l'équation est \( x = \frac{9}{11} \).
3. Type "a x + b = c "
Méthode 3 - Pour résoudre une équation du type "\( a \times x + b = c \)", il faut d'abord compenser par \( - b \) chaque membre de l'équation, et ainsi se ramener à la méthode précédente
Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( 11 x + 9 = 7 \).
\( \begin{align} 11 \times x + 9 &= 7 \\ 11 \times x + 9 ~\color{green}{- 9} &= 7 ~\color{green}{- 9}\\ 11 \times x &= -2\\ & \\ 11 \times x ~\color{green}{\div 11}&= - 2~\color{green}{\div 11}\\ x &= -\frac{2}{11} \end{align} \)
La solution de l'équation est \( x = -\frac{2}{11} \).
4. Type "a x + b = c x + d"
Méthode 4 - Pour résoudre une équation du type "\( a \times x + b = c \times x + d \)", il faut d'abord compenser par \( - c\times x \) chaque membre de l'équation et ainsi se ramener à la méthode précédente
Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( 11 x + 9 = 7 x + 5 \).
\( \begin{align} 11 \times x + 9 &= 7 x + 5 \\ 11 \times x + 9 ~\color{green}{- 7 x} &= 7 x + 5 ~\color{green}{- 7 x}\\ 4 \times x + 9 &= 5 \\ & \\ 4 \times x + 9 ~\color{green}{- 9} &= 5 ~\color{green}{- 9}\\ 4 \times x &= -4\\ & \\ 4 \times x ~\color{green}{\div 4}&= - 4~\color{green}{\div 4}\\ x &= -\frac{4}{4} = -1 \end{align} \)
La solution de l'équation est \( x = -1 \).