On considère une fonction \( f \) définie sur un intervalle \( I \), et on note \( \cal C \) sa courbe représentative dans un repère.
Soit \( A \) un point appartenant à la courbe \( \cal C \) .
Si elle existe, la droite passant par \( A \) qui « frôle » \( \cal C \) est appelée tangente en \( A \).

On appelle fonction dérivée de \( f \) sur \( I \), noté \( f' \), la fonction qui à tout réel \( x \in I \) associe le coefficient directeur de la tangente au point \( A \) de \( \cal C \) d'absisse \( x \).

1. Règles de calcul

Propriété - Pour toutes fonctions \( f \) et \( g \) définies et dérivables sur un intervalle \( I \), pour tout nombre réel \( k \), pour tout nombre réel \( x \in I \),

  \( (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x) \)     \( (k\times f)'(x) = k\times f'(x) \)  

Preuve - Considérons \( a\in I \) et \( b\in I \). Alors :

2. Les fonctions polynomiales

Propriété - Pour tout nombre entier \( n \), considérons la fonction \( f \) définie pour tout nombre réel \( x \) par \( f(x) = x^n \).
 
Alors \( f'(x) = n \times x^{n-1} \).

Exemple
Considèrons la fonction \( f \) définie pour tout réel \( x \) par \( f(x) =x^3 \). Alors :

\( f'(x) = 3 x^2 \).

Remarque : en pratique, on dépassera rarement \( n = 3 \).

3. La fonction inverse

Propriété - Considérons la fonction \( f \) définie pour tout nombre réel \( x\neq 0 \) par \( f(x) = \dfrac{1}{x} \).
 
Alors \( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \).

Remarques : il s'agit de la même règle que pour les polynômes… avec \( n = -1 \).