Il y a parfois, dans les problèmes de modélisation par les suites géométriques, des équations que l'on ne peut pas résoudre simplement.
Un outil est alors nécessaire : la fonction logarithme décimal.

1. Notion élémentaire

1. Théorème : pour tout réel \( x>0 \), l'équation \( 10^y = x \) admet une unique solution. Elle s'appelle le logarithme décimale de \( x \), et est notée \( y = \log(x) \).

3. Propriété algébrique de multiplication : pour tous réels \( a>0 \) et \( b>0 \),

\( \log(a\times b) = \log(a) + \log(b) \)

Démonstration : il s'agit des propriétés élementaires sur les puissances. En effet, par définition :

\( \displaystyle 10^{\log(a\times b)} = a\times b \)

De plus,

\( \displaystyle 10^{\log(a) + \log(b)} = 10^{\log(a)}\times 10^{\log(b)} = a\times b \)

Ainsi, \( \log(a) + \log(b) \) et \( \log(a\times b) \) sont tous les deux solutions de l'équation \( 10^y = a\times b \). Par unicité de la solution,

\( \displaystyle y = \log(a\times b) = \log(a) + \log(b) \)

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4. Propriété algébrique de division : pour tous réels \( a>0 \) et \( b>0 \),

\( \log\Big(\dfrac{a}{b}\Big) = \log(a) - \log(b) \)

Démonstration : on applique la propriété précédente à \( a \) et \( \frac{1}{b} \).

\( \displaystyle 0 = \log{1} = \log\Big(b\times \frac{1}{b}\Big) = \log(b) + \log\Big(\frac{1}{b}\Big) \)

On obtient donc :

\( \displaystyle - \log(b) = \log\Big(\frac{1}{b}\Big) \)

Finalement :

\( \displaystyle \log\Big(\frac{a}{b}\Big) = \log\Big(a\times\frac{1}{b}\Big) = \log(a) + \log\Big(\frac{1}{b}\Big) = \log(a) - \log(b) \)

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2. Résolution d'une équation

Théorème : pour tous réels \( a>0 \) et \( x>0 \), l'équation \( a^y = x \) admet pour unique solution

Démonstration : pour tout réel \( a>0 \),

\( \displaystyle a^y = \Big(10^{\log(a)}\Big)^y = 10^{\log(a)\times y} \)

Vu le théorème précédent, nous obtenons que :

\( \displaystyle \log(a)\times y = \log(x) \)

Finalement :

\( \displaystyle a^y = x \Longleftrightarrow y = \frac{\log(x)}{\log(a)} \)

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3. La fonction

Considérons fonction définie pour tout réel \( x>0 \) par \( x \mapsto \log(x) \).

Démonstration : on admet les propriétés 1 et 2. Pour la troisième, considérons deux réels \( a>0 \) et \( b>0 \) tels que \( b > a \),

\( \displaystyle \log(b) - \log(a) = \log\Big(\frac{b}{a}\Big) \)

Mais \( \frac{b}{a} > 1 \) car \( b > a \). Donc :

\( \displaystyle \log(b) - \log(a) > 0 \)

Autrement dit la fonction est croissante.

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On notera enfin que :

\( \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \log(x) = - \infty \)

\( \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \log(x) = + \infty \)