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Dans tout ce qui suit, \( \Omega \) désigne un ensemble fini quelconque.
Il est appelé univers.
Ses éléments sont appelés des issues.
1. Rappels sur les espaces probabilisés
- Une partie \( A\subset\Omega \) est appelé un événement.
Il est constitué d'issues. - Un événement n'ayant qu'une seule issue est dit élémentaire.
- \( A\cup \overline{A} = \Omega \)
- \( A\cap \overline{A} = \varnothing \)
3. Définition - Deux événements \( A \) et \( B \) sont disjoints si \( A\cap B = \varnothing \)
Par exemple, \( A \) et \( \overline{A} \) sont disjoints.
- \( P(\Omega) = 1 \)
- \( P(A\cup B) + p(A \cap B) = p(A) + p(B) \)
2. Arbre des probabilités
Un arbre des probabilités est un schéma résumant une séquence d'événements.
Chaque branche indique la probabilité d'un événement \( B \) sachant l'événement \( A \) précédent. On appelle ça une probabilité conditionnelle, noté \( p_A(B) \).
1. Propriété - La somme des probabilités des branches issues d'un même événement donne \( 1 \).
2. Exemple : sur le schéma, \( P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1 \).
3. Propriété - La probabilité d'une chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
4. Application : \( P(A) \times P_A(B) = P(A\cap B) \)
5. Théorème [Formule des probabilités totales]
\( \displaystyle P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B) \)
Cette formule est importante car elle permet de déterminer la probabilité d'un événement qui n'apparait pas sur le schéma.
3. Indépendance
1. Définition - Deux événénements \( A \) et \( B \) sont indépendants si
\( P(B) = P_A(B) \) et \( P(A) = P_B(A) \)
Autrement dit, la probabilité que \( B \) se réalise n'est pas impactée par la réalisation au préalable de \( A \). Et inversement.
2. Théorème - \( P(A\cap B) = P(A)\times P(B) \)