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Une suite arithmétique est l'exemple élémentaire de suite définie par une relation de récurrence : l'écart entre deux valeurs successives reste simplement constant.
1. Définition
Une suite \( (u_n) \) est arithmétique s'il existe un nombre \( r \) tel que pour tout entier \( n \),
\( u_{n+1} = u_n + r \)
Dans ce cas, on dit que \( r \) est la raison de la suite \( (u_n) \).
2. Expression
Propriété - On considère une suite \( (u_n) \) arithmétique de raison \( r \).
Alors pour tout entier \( n \),
\( u_n = u_0 + n\times r \)
Explication
Pour comprendre cette expression, il faut écrire le calcul terme à terme des valeurs de la suite :
\( u_1 = u_0 + r \)
\( u_2 = u_1 + r = u_0 + r + r = u_0 + 2r \)
\( u_3 = u_2 + r = u_0 + 2r + r = u_0 + 3r \)
\( u_4 = u_3 + r = u_0 + 3r + r = u_0 + 4r \)
Et ainsi de suite…
Remarque
Cette explication n'est pas une preuve ! La démonstration de la propriété nécessite l'utilisation du raisonnement pas récurrence, ce qui est hors programme.
3. Variation
Propriété - On considère une suite \( (u_n) \) arithmétique de raison \( r \).
- Si \( r > 0 \), \( (u_n) \) est croissante.
- Si \( r < 0 \), \( (u_n) \) est décroissante.
- Si \( r = 0 \), \( (u_n) \) est constante.
Preuve
Pour étudier la variation d'une suite, on étudie le signe de \( u_{n+1} - u_n \). Or :
\( u_{n+1} - u_n = \underbrace{u_n + r}_{u_{n+1}} - u_n = r \)
Donc le signe de \( u_{n+1} - u_n \) est constamment celui de \( r \).
4. Sommation
Propriété - On considère une suite \( (u_n) \) arithmétique de raison \( r \).
Alors pour tout entier \( n \),
\( \displaystyle\sum_{i=0}^{n} u_i = \frac{(n+1) \times (u_0 + u_n)}{2} \)
Explication
Pour comprendre cette expression, il faut remarquer, en utilisant l'expresion du paragraphe précédent, que :
\( u_0 + u_n = u_0 + u_0 + n\times r = 2u_0 + n\times r \)
\( u_1 + u_{n-1} = \underbrace{u_0 + 1\times r}_{u_1} + \underbrace{u_0 + (n- 1)\times r}_{u_{n-1}} = 2u_0 + n\times r = u_0 + u_n \)
\( u_2 + u_{n-2} = \underbrace{u_0 + 2\times r}_{u_2} + \underbrace{u_0 + (n- 2)\times r}_{u_{n-2}} = 2u_0 + n\times r = u_0 + u_n \)
Et ainsi de suite…
Preuve
Pour tout entier \( n \), pour tout entier \( i \leq n \),
| \( u_i + u_{n - i} \) | \( = \underbrace{u_0 + i\times r}_{u_i} + \underbrace{u_0 + (n - i)\times r}_{u_{n - i}} \) |
| \( = u_0 +i\times r + u_0 +n\times r - i \times r \) | |
| \( = 2u_0 + n\times r \) |
Ainsi, en ajoutant deux sommes identiques, valeurs initiales avec valeurs finales :
| \( \displaystyle\sum_{i=0}^{n} u_i + \sum_{i=0}^{n} u_i \) | \( \displaystyle= \sum_{i=0}^{n} u_i + \sum_{i=0}^{n} u_{n - i} \) |
| \( \displaystyle= \sum_{i=0}^{n} (u_i + u_{n-i}) \) | |
| \( \displaystyle= \sum_{i=0}^{n} (2u_0 + n\times r) \) | |
| \( \displaystyle= (n+1) \times (2u_0 + n\times r) \) | |
| \( \displaystyle= (n+1) \times (u_0 + u_n) \) |
On obtient l'expression de la sommation en divisant par deux !
5. Repésentation
On considère une suite \( (u_n) \) arithmétique de raison \( r \).
Alors pour entier \( n \), on a vu que \( u_n = u_0 + n\times r \).
Autrement dit, on peut écrire que \( u_n = f(n) \), où \( f \) est une fonction affine définie pour tout réel \( x \) par :
\( f(x) = r\times x + u_0 \)
On obtient donc pour représentation des points alignés sur une droite dont :
- le coefficient directeur est \( r \).
- l'ordonnée à l'origine est \( u_0 \).