Devoir surveillé no1

Programme 2026
 | Mercredi 30 Septembre 2026

Sujet no = sujetId.
La calculatrice est interdite.
Chaque question doit être soigneusement justifiée.

1. Un air de déjà-vu (4 points)

Automatisme no1

Factoriser : \( A = (x + \) $("#js-2").innerHTML = '\\(' + a + ')(' + b + ' - 2x) + ' + c + 'x (x + ' + a + ')\\)';.

 

Automatisme no2

Factoriser : $("#js-10").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b*b) + ' - ' + (a*a) + 'x^2\\)';.

 

2. Exercice (8 points)

Intéressons-nous à l’équation suivante :

$("#js-18").innerHTML = '\\(' + 'E_1 : (' + a + 'x + ' + (a+1) + ')(' + (a+2) + 'x - ' + (a*2 +4) + ')(' + a + 'x + ' + (a*3) + ')= 0\\)';

1. Déterminer l’ensemble des solutions de \( E_1 \) dans \( {\mathbb R} \).

2. En déduire :
  1. l’ensemble des solutions de \( E_1 \) dans \( {\mathbb Z} \).
  2. l’ensemble des solutions de \( E_1 \) dans \( {\mathbb N} \).

Intéressons-nous à l’inéquation suivante :

$("#js-19").innerHTML = '\\(' + 'E_2 : |x - ' + b + ' | \\le ' + (b-1) + '\\)';

3. Déterminer, sous forme d’un intervalle, l’ensemble des solutions de \( E_2 \).

4. Représenter sur un axe gradué l’ensemble des solutions de \( E_2 \).

5. Existe-t-il des solutions communes à \( E_1 \) et \( E_2 \) ?

3. Problème (8 points)

Considérons l’expression \( A \) définie pour tout \( x\in {\mathbb R} \) par

\( A = (x-1)^2 + x^2 + (x+1)^2 \)

1. Développer et réduire \( A \).

Intéressons-nous à l’énigme suivante :

Enigme !
Trois nombres entiers consécutifs ont des carrés dont la somme est $("#js-20").innerHTML = '\\(' + (3*b*b + 2)+'\\)';.

2. Quels sont ces nombres ?

3. Que devient cette énigme si la somme est \( 2 \) ?

4. Existe-t-il une somme (ou plusieurs !) pour laquelle cette énigme est insoluble ?

■

Choix possibles

Question n°1

$("#js-4").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' - 2x)(x + ' + a + ' + ' + c + 'x)\\)';

$("#js-6").innerHTML = '\\(' + 'A = (x + ' + a + ')(' + (b*c) + ' - ' + (c * 2) + 'x^2)\\)';

$("#js-5").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' - 2x)(' + a + ' + ' + (c+1) + 'x)\\)';

$("#js-3").innerHTML = '\\(' + 'A = (x + ' + a + ')(' + b + ' + ' + (c - 2) + 'x)\\)';

Question n°2

$("#js-11").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' + ' + a + 'x)(' + b + ' - ' + a + 'x)\\)';.

$("#js-13").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b - a) + 'x\\)';.

$("#js-12").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b*b - a*a) + 'x^2\\)';.

$("#js-14").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' - ' + a + 'x)^2\\)';.

■
Solutions

1. Un air de déjà-vu (4 points)

Automatisme no1

Rappelons la règle de distributivité : pour tous nombres \( k \), \( a \) et \( b \),

\( k\times (a + b) = k\times a + k\times b \)

Nous reconnaissons un facteur commun, coloré en rouge, et regroupons en conséquence :

\( A \)  $("#js-7").innerHTML = '\\(' + '= {\\color{red}(x + ' + a + ')}(' + b + ' - 2x) + ' + c + 'x {\\color{red}(x + ' + a + ')}\\)';
  $("#js-8").innerHTML = '\\(' + '= {\\color{red}(x + ' + a + ')}(' + b + ' - 2x + ' + c + 'x)\\)';
  $("#js-9").innerHTML = '\\(' + '= (x + ' + a + ')(' + b + ' + ' + (c - 2) + 'x)\\)';

Automatisme no2

Nous reconnaissons la troisième identité remarquable : en effet, pour tous nombres \( a \) et \( b \),

\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)

Ainsi, nous obtenons :

\( A \) $("#js-15").innerHTML = '\\(' + ' = ' + (b*b) + ' - ' + (a*a) + 'x^2\\)';
  $("#js-16").innerHTML = '\\(' + ' = ' + b + '^2 - (' + a + 'x)^2\\)';
  $("#js-17").innerHTML = '\\(' + ' = (' + b + ' + ' + a + 'x)(' + b + ' - ' + a + 'x)\\)';

2. Exercice (8 points)

1. Déterminer l’ensemble des solutions de \( E_1 \) dans \( {\mathbb R} \).

3. Déterminer, sous forme d’un intervalle, l’ensemble des solutions de \( E_2 \).

4. Représenter sur un axe gradué l’ensemble des solutions de \( E_2 \).

5. Existe-t-il des solutions communes à \( E_1 \) et \( E_2 \) ?

3. Problème (8 points)

1. Développer et réduire \( A \).

2. Quels sont ces nombres ?

3. Que devient cette énigme si la somme est \( 2 \) ?

4. Existe-t-il une somme (ou plusieurs !) pour laquelle cette énigme est insoluble ?

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