La calculatrice est autorisée. Sujet n^o $("#js-1").innerHTML = '\\(' + sujetId + '\\)';.

Les automatismes (4 points)

Question n^o1

Question !
Considérons la suite géométrique \( (u_n) \) de premier terme $("#js-2").innerHTML = '\\('+ 'u_0 = ' + u0 + '\\)'; et de raison $("#js-3").innerHTML = '\\('+ 'q = ' + q + '\\)';.
Combien vaut la somme \( S \) des 4 premiers termes ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Question n^o2

Question !
Résoudre l'inéquation \( f(x) \geqslant 0 \), où \( f \) est définie pour tout \( x\in{\mathbb R} \) par :
  
     $("#js-8").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = (' + a + 'x ' + b + ')('+ c + 'x' + d + ')\\)';
  
On pourra tracer une représentation graphique de la fonction pour s'aider.

La réponse doit être soigneusement justifiée.
 

Exercice (8 points)

1. Construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne \( n = 7 \).

2. En déduire les valeurs $("#js-15").innerHTML = '\\(' + '\\displaystyle\\binom{7}{' + sujetId + '}\\)'; et $("#js-16").innerHTML = '\\(' + '\\displaystyle\\binom{' + sujetId + '}{' + (sujetId - 1) + '}\\)';.

Dans la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire réelle \( X \) suivant la loi binomiale $("#js-17").innerHTML = '\\(' + '{\\cal B}(7, 0.' + 16*sujetId + ')\\)';.

3. Déterminer $("#js-19").innerHTML = '\\(' + 'P(X = ' + (sujetId +1) + ')\\)';. Justifier votre réponse.

4. Déterminer $("#js-21").innerHTML = '\\(' + 'P(X = ' + sujetId + ')\\)';. Justifier votre réponse.

5. En déduire $("#js-23").innerHTML = '\\(' + 'P(X \\neq ' + sujetId + ')\\)';.

Problème (8 points)

Une compagnie aérienne dispose d'une avion de $("#js-24").innerHTML = '\\(' + avion + '\\)'; places pour la liaison Beauvais - Londres.

La plupart des voyageurs - \( 90 \)% - achetant un billet (à \( 50 \)€) embarquent vraiment.

Pour s'assurer que l'avion est plein au départ, la compagnie veut vendre plus de billets que de places disponibles. En cas de problème, la compagnie rembourse \( 150 \)€ à chaque voyageur ne pouvant pas embarquer.

Notons \( n \), le nombre de billets vendus par la compagnie.

Notons \( X \), la variable aléatoire désignant le nombre de voyageurs qui embarquent dans l'avion.

1. Quelle loi suit \( X \) ?

2. Exprimer l'espérance de \( X \) en fonction de \( n \).

3. Au vu du nombre de places dans l'avion, déterminer \( n \) pour que l'avion soit complet en moyenne.

4. Supposons que $("#js-26").innerHTML = '\\(' + avion + '\\)'; voyageurs veuillent embarquer.
Le voyage est-il rentable pour la compagnie ?

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Aide

Question n°1

$("#js-7").innerHTML = '\\(' + 'S = ' + (s - 3*err) + '\\)';

$("#js-6").innerHTML = '\\(' + 'S = ' + (s + 2*err) + '\\)';

$("#js-4").innerHTML = '\\(' + 'S = ' + s + '\\)';

$("#js-5").innerHTML = '\\(' + 'S = ' + (s + err) + '\\)';

Question n°2

$("#js-12").innerHTML = '\\(' + 'x\\in' + it4 +'\\)';

$("#js-9").innerHTML = '\\(' + 'x\\in' + it1 +'\\)';

$("#js-11").innerHTML = '\\(' + 'x\\in' + it3 +'\\)';

$("#js-10").innerHTML = '\\(' + 'x\\in' + it2 +'\\)';