Probabilités conditionnelles

Devoir surveillé no7
 | Vendredi 20 Mars 2026

La calculatrice est autorisée. Sujet no $("#js-1").innerHTML = '\\(' + sujetId + '\\)';.

Les automatismes (4 points)

Question no1

Question !
Considérons la suite géométrique \( (u_n) \) de premier terme $("#js-2").innerHTML = '\\('+ 'u_0 = ' + u0 + '\\)'; et de raison $("#js-3").innerHTML = '\\('+ 'q = ' + q + '\\)';.
Combien vaut la somme \( S \) des 4 premiers termes ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Question no2

Question !
Résoudre l'inéquation \( f(x) \geqslant 0 \), où \( f \) est définie pour tout \( x\in{\mathbb R} \) par :
  
     $("#js-8").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = (' + a + 'x ' + b + ')('+ c + 'x' + d + ')\\)';
  
On pourra tracer une représentation graphique de la fonction pour s'aider.

La réponse doit être soigneusement justifiée.
 

Exercice (8 points)

En l'an 3019, \( 1 \)% de la population mondiale est contaminée par un virus. Un dépistage existe, mais sa fiabilité est remise en cause.
  • $("#js-13").innerHTML = '\\(' + '99.' + uV + '\\)';% des porteurs du virus ont un test positif.
  • $("#js-14").innerHTML = '\\(' + '98.' + uP + '\\)';% des non-porteurs ont un test négatif.
Tous les résultats seront arrondis à \( 10^{-4} \) près. On note :
  • \( V \) l'événement "Une personne est contaminée".
  • \( P \) l'événement "Une personne a un test positif".

Question 1. Modéliser la situation par un arbre de probabilité.

Question 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est $("#js-15").innerHTML = '\\(' + s1 + '\\)';.

Question 3. Les journaux affirment qu'une personne ayant un test positif a \( 40 \)% de chance d'être contaminée.
Ont-ils raison ? Interpréter ce résultat.

Question 4. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée sachant que son test est négatif.
Interpréter ce résultat.

Problème (8 points)

Lançons simultanément un dé = d1[uI] et un dé = d2[uI] .
  • Le dé = d1[uI] a quatre faces, numérotées de 1 à 4.
  • Le dé = d2[uI] a vingt faces, numérotées de 1 à 20.
Notons les événements :
  • \( D \) : la face obtenue par le dé = d1[uI] est deux.
  • \( I \) : la face obtenue par le dé = d1[uI] est impaire.
  • \( S = 11 \) : la somme des faces des deux dés est \( 11 \).
  • \( S \geqslant 5 \) : la somme des faces des deux dés est supérieure ou égale à \( 5 \).

Question 1. Les événements \( D \) et \( S = 11 \) sont-ils indépendants ?

Question 2. Les événements \( I \) et \( S \geqslant 5 \) sont-ils indépendants ?

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Aide

Question n°1

$("#js-6").innerHTML = '\\(' + 'S = ' + (s + 2*err) + '\\)';

$("#js-5").innerHTML = '\\(' + 'S = ' + (s + err) + '\\)';

$("#js-7").innerHTML = '\\(' + 'S = ' + (s - 3*err) + '\\)';

$("#js-4").innerHTML = '\\(' + 'S = ' + s + '\\)';

Question n°2

$("#js-10").innerHTML = '\\(' + 'x\\in' + it2 +'\\)';

$("#js-11").innerHTML = '\\(' + 'x\\in' + it3 +'\\)';

$("#js-9").innerHTML = '\\(' + 'x\\in' + it1 +'\\)';

$("#js-12").innerHTML = '\\(' + 'x\\in' + it4 +'\\)';

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Solution

Les automatismes (4 points)

Exercice (8 points)

Problème (8 points)

Question 1. Les événements \( D \) et \( S = 11 \) sont-ils indépendants ?