Il existe deux techniques de division : euclidienne lorsqu'elle ne concerne que des nombres entiers, et décimale dans toutes les autres situations.
1. Division euclidienne
1. Vocabulaire
On considère le calcul suivant :
\( 35 = 10\times 3 + 5 \)
Il s'agit de la division euclidienne de \( 35 \) par \( 10 \) car \( 10 > 5 \).
On dit que \( 35 \) est le dividende, \( 10 \) le diviseur, \( 3 \) le quotient et \( 5 \) le reste.
2. Technique opératoire
Poser et calculer la division euclidienne de \( 1093 \) par \( 7 \).
| 1 | 0 | 9 | 3 | 7 | |
| - | 7 | 1 5 6 | |||
| 3 | 9 | | |||
| - | 3 | 5 | | ||
| 4 | 3 | | |||
| - | 4 | 2 | | ||
| 1 |
Ainsi, \( 1093 = 7\times 156 + 1 \).
On verra ultérieurement qu'il existe différentes techniques - appelées critères de divisibilité - pour savoir si le reste d'une division euclidienne est nulle sans poser l'opération… pratique !
2. Division décimale
1. Vocabulaire
On considère l'opération suivante :
\( 35 \div 10 = 3,5 \)
On dit que \( 35 \) est le dividende, \( 10 \) est le diviseur et \( 3,5 \) est le quotient.
Contrairement à une division euclidienne, il n'y a pas de reste !
2. Technique opératoire
Poser et calculer \( 109,3 \div 4 \) et \( 109,3 \div 9 \).
| 1 | 0 | 9, | 3 | 4 | |||
| - | 8 | 2 8, 3 2 5 | |||||
| 2 | 9 | ||||||
| - | 2 | 8 | |||||
| 1 | 3 | ||||||
| - | 1 | 2 | |||||
| 1 | 0 | ||||||
| - | 8 | ||||||
| 2 | 0 | ||||||
| - | 2 | 0 | |||||
| 0 |
| 1 | 0 | 9, | 3 | 9 | |||
| - | 9 | 1 2, 1 4… | |||||
| 1 | 9 | ||||||
| - | 1 | 8 | |||||
| 1 | 3 | ||||||
| - | 9 | ||||||
| 4 | 0 | ||||||
| - | 3 | 6 | |||||
| 4 | … |
- soit la procédure de division s'arrête.
- soit la procédure de division ne s'arrête pas, les chiffres de son écriture décimale se répètent indéfiniment. On dit que son écriture décimale est périodique.