La fonction \( \Gamma \) (Gamma) d'Euler sert à généraliser la notion de factorielle aux nombres réels et complexes.

Définition - Intéressons-nous à la fonction :

\( \Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t} dt \)

Il s'agit d'une intégrale impropre ! Il est donc nécessaire de déterminer pour quelles valeurs de \( x \) elle est bien définie.

Définissons donc pour tout réel \( x \) et pour tout réel \( t > 0 \) :

\( f_x : t \mapsto t^{x-1}e^{-t} \)

\( f_x \) est continue et positive.
Pour étudier l'intégrabilité possible en 0 et \( +\infty \), il est nécessaire de se placer sur deux intervalles bien distincts.

Sur \( ]0; 1[ \), \( f_x(t) \underset{t \rightarrow 0}\sim t^{x-1} = \frac{1}{t^{1 - x}} \) est intégrable si et seulement si \( 1 - x < 1 \) : il s'agit du critère de Riemann.
De manière équivalente, \( x > 0 \).

Sur \( ]1; +\infty[ \), \( f_x(t) = o(t^{-2}) \) car :

\( \displaystyle\lim_{t \rightarrow + \infty}\frac{f_x(t)}{t^{-2}} = \displaystyle\lim_{t \rightarrow + \infty} t^{x-1}e^{-t}t^2 = 0 \)

Donc \( f_x \) est intégrable quelque soit la valeur de \( x \) : il s'agit encore du critère de Riemann.

Ainsi, la fonction \( \Gamma \) est bien définie sur \( \mathbb{R}^{+*} \).