Le critère de Riemann est un outil de base dans l'étude des intégrales impropres. Il est utilisé en combinaison de la comparaison de fonction.

1. Les intégrales de Riemann

\( \displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{t^\alpha} dt \) converge \( \Leftrightarrow \alpha < 1 \)

\( \displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{t^\alpha} dt \) converge \( \Leftrightarrow \alpha > 1 \)

Preuve - Considérons deux réels \( a \) et \( b \) tels que \( 0 < a < b \).

\( \displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{t} dt = \left[ln(t) \displaystyle\right]_{a}^{b} = ln(b) - ln(a) \)

C'est sans espoir ! En effet :

\( \displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} ln(b) = +\infty \)

\( \displaystyle\lim_{a\rightarrow 0} ln(a) = -\infty \)

Pour la suite de la preuve, considérons donc un réel \( \alpha \neq 1 \),

\( \displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{1}{t^\alpha} dt = \left[\dfrac{-1}{(\alpha - 1)\times t^{\alpha - 1}} \displaystyle\right]_{a}^{b} = \dfrac{-1}{(\alpha - 1)\times b^{\alpha - 1}} - \dfrac{-1}{(\alpha - 1)\times a^{\alpha - 1}} \)

a) Étude en zéro

Posons \( b = 1 \) et faisons tendre \( a \) vers zéro.

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{t^\alpha} dt = \displaystyle\lim_{a \rightarrow 0} \dfrac{-1}{(\alpha - 1)} - \dfrac{-1}{(\alpha - 1)\times a^{\alpha - 1}} \)

Cette limite converge si et seulement si \( \alpha - 1 < 0 \), c'est à dire \( \alpha < 1 \).
Dans ce cas :

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{t^\alpha} dt = \dfrac{-1}{(\alpha - 1)} \).

b) Étude à l'infinie

Posons \( a = 1 \) et faisons tendre \( b \) vers l'infinie.

\( \displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{t^\alpha} dt = \displaystyle\lim_{b \rightarrow +\infty} \dfrac{-1}{(\alpha - 1)\times b^{\alpha - 1}} - \dfrac{-1}{(\alpha - 1)} \)

Cette limite converge si et seulement si \( \alpha - 1 > 0 \), c'est à dire \( \alpha > 1 \).
Dans ce cas :

\( \displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{t^\alpha} dt = \dfrac{1}{(\alpha - 1)} \).