Considèrons \( (E, \lVert .\lVert ) \), un \( {\mathbb K} \)-espace vectoriel normé et \( K\subset E \), une partie compacte.

Soit \( f: K\rightarrow K \) telle que pour tout \( (x, y)\in K^2 \),

\( x \neq y \Longrightarrow \lVert f(x) - f(y)\lVert < \lVert x - y\lVert \)

À la manière du théorème de Banard-Picard, l'objectif de l'exercice est de montrer que \( f \) admet un unique point fixe.
Ainsi, définissons \( g : K \rightarrow {\mathbb R}^+ \) par \( g(x) = \lVert f(x) - x \lVert \).

1. Démontrer que si \( f \) admet un point fixe, celui-ci est unique.

2. Justifier que \( f \) et \( g \) sont continues.

3. Démontrer qu'il existe \( x_0\in K \) tel que :

\( g(x_0) = \displaystyle \inf\big\{ g(x) ~|~ x\in K\big\} \)

4. Calculer \( g\circ f(x_0) \).
Que peut-on en conclure ?

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Solution

1. Démontrer que si \( f \) admet un point fixe, celui-ci est unique.

Supposons que \( f \) admette deux points fixes distincts, notés \( x \) et \( y \). Alors :

\( \lVert \underbrace{f(x)}_{=x} - \underbrace{f(y)}_{=y}\lVert < \lVert x - y\lVert \)

\( \lVert x - y\lVert < \lVert x - y\lVert \)

Impossible ! Donc il ne peut pas y avoir deux points fixes distincts.

2. Justifier que \( f \) et \( g \) sont continues.

Par définition, \( f \) est lipschitzienne donc continue.
De même, \( \lVert .\lVert \) est lipschitzienne donc continue.
Enfin, \( g \) est continue comme composée de fonctions continues.

3. Démontrer qu'il existe \( x_0\in K \) tel que :

\( g(x_0) = \displaystyle \inf\big\{ g(x) ~|~ x\in K\big\} \)

\( K \) est une partie compacte de \( E \) et \( g \) est continue. Donc \( g(K) \) est une partie compacte de \( {\mathbb R}^+ \). Notamment, il existe \( x_0\in K \) tel que :

\( g(x_0) = \min \big\{g(x)\in K ~~|~~ x\in K\big\} \)

4. Calculer \( g\circ f(x_0) \).
Que peut-on en conclure ?

Supposons que \( f(x_0) \neq x_0 \). Alors :

\( g(f(x_0)) = \lVert f(f(x_0)) - f(x_0) \lVert \)

\( g(f(x_0)) < \lVert f(x_0) - x_0 \lVert \)

\( g(f(x_0)) < g(x_0) \)

Impossible ! En effet, par définition, \( g(x_0) \) est le minimum sur \( K \).

Donc \( f(x_0) = x_0 \).

Autrement dit, \( x_0 \) est un point fixe de \( f \). Et, au vue de la question 1, il est unique.