Comment trouver une fonction vérifiant les conditions de l'exercice ?

La première étape est d'utiliser une fonction polynomiale.

Puisque \( f'(0) = f(0) = 0 \), nous disposons d'une racine double.
Ainsi, nous pouvons écrire \( f \) sous la forme \( f(x) =x^2 \times h(x) \), où \( h \) reste une fonction à déterminer.

Puisque \( f'(1) = 0 \), nous pourrions envisager - sur le même modèle - \( h(x) = (x - 1)^2 \). Mais alors \( f(1) = 0 \), ce que l'on souhaite éviter !

Ainsi, cherchons encore un peu :

\( f'(x) = 2x\times h(x) + x^2\times h'(x) \)

\( f'(1) = 2h(1) + h'(1) \)

condition \( f'(1) = 0 \) donne \( h'(1) = -2h(1) \).
Cette relation liant une fonction et sa dérivée évoque assez naturellement la fonction exponentielle.

Finalement nous pouvons, par exemple, poser \( h(x) = \exp(-2x) \) et ainsi :

\( f(x) = x^2 \exp(-2x) \)
  

Graphiquement, au point d'abscisse \( c \), la tangente à la courbe passe par l'origine du repère.
En effet, l'équation de la tangente au point \( (c; f(c)) \) est \( y = a x + b \), où
  
 ¤  \( a = f'(c) \)
 ¤  \( b = f(c) - cf'(c) \) \( = cf'(c) - cf'(c) = 0 \)