Considérons une fonction \( f:[0, 1]\rightarrow {\mathbb R} \), continue et dérivable, telle que :

\( f(0) = f'(0) = f'(1) = 0 \)

Montrer qu'il existe \( c\in]0; 1] \) tel que   \( f'(c) = \dfrac{f(c)}{c} \) .

On pourra étudier la fonction \( g \) définie sur \( ]0; 1] \) par :

\( \displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{x} \)

Pour aller plus loin !
- Donner une interprétation graphique de ce résultat.
- Donner un exemple non trivial de fonction vérifiant cette condition.

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Solution

Si \( f(1) = 0 \), alors \( c = 1 \) convient !

Dans la suite de l'exercice, supposons donc que \( f(1) \neq 0 \).
Mieux : quitte à résoudre le problème avec la fonction \( -f \), supposons que \( f(1) > 0 \).

Intéressons nous maintenant à \( g \). On peut remarquer que   \( g(x) = \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} \) .

a) Continuité
\( f \) étant dérivable en 0, nous pouvons prolonger \( g \) par continuité en 0 en posant \( g(0) = f'(0) = 0 \).

b) Dérivation
\( f \) étant dérivable, \( g \) est dérivable sur \( ]0; 1] \) et

\( g'(x) = -\dfrac{f'(x) \times x - f(x) \times 1}{x^2} \)

\( g'(x) = -\dfrac{xf'(x) - f(x)}{x^2} \)

c) Extremum
\( g \) étant continue sur la partie compacte \( [0; 1] \), il existe \( c\in[0; 1] \) tel que

\( g(c) = \max \left\{g(x) ~~|~~ x\in [0; 1]\right\} \)

Ce maximum peut-il être atteint sur les bords de \( [0; 1] \) ?

Cas n°1. \( c = 0 \)
Puisque \( g(1) = f(1) \) et \( g(0) = 0 \), nous obtenons que   \( f(1) \leq 0 \) .   Contradiction !

Cas n°2. \( c = 1 \)
Puisque \( g'(1) = -f(1) \), nous obtenons que   \( f(1) = -\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{g(1) - g(x)}{1 - x} \leq 0 \) .   Contradiction !

d) Conclusion

Puisque \( c\in]0; 1[ \), l'abscisse du maximum annule la dérivée. Dès lors,

\( g'(c) = 0 = -\dfrac{cf'(c) - f(c)}{c^2} \)

Finalement,

\( f'(c) = \dfrac{0\times c^2 + f(c)}{c} = \dfrac{f(c)}{c} \)