En lien avec la leçon 217.

Fixons \( k\in{\mathbb N} \). On appelle équation différentielle de Bessel d'ordre \( k \)

\( \displaystyle (E) ~~ \forall t\in]0; +\infty[ ~~ ~~ ~~ ~~ t^2 x''(t) + t x'(t) + \left(t^2 - k^2\right)\,x(t) = 0 \)

Cette équation peut être écrite sous la forme :

\( \displaystyle (H) ~~ \forall t\in]0; +\infty[ ~~ ~~ ~~ ~~ x''(t) + \frac{1}{t} x'(t) + \left(1 - \frac{k^2}{t^2}\right)\,x(t) = 0 \)

Question n^o1. Préciser la structure de l'ensemble \( \mathcal{S} \) des solutions.

Supposons que \( x \) une solution développable en série entière, et notons \( R \) sont rayo de convergence. Pour tout \( t\in ]0; +\infty[ \),

\( \displaystyle x(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} x_n t^n \)

\( \displaystyle x'(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} n x_n t^{n-1} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x_{n+1} t^n \)

\( \displaystyle x''(t) = \sum_{n=2}^{+\infty} n (n-1) x_n t^{n-2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2)(n+1) x_{n+2} t^n \)

L'équation \( (E) \) équivaut alors à

\( \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (n+2)(n+1) x_{n+2} t^{n+2} + \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x_{n+1} t^{n+1} + \sum_{n=0}^{+\infty} x_n t^{n+2} - k^2\sum_{n=0}^{+\infty} x_n t^n = 0 \)

Par identification terme à terme, nous obtenons :

\( \displaystyle - k^2 x_0 = 0 \)

\( \displaystyle x_1 - k^2 x_1 = 0 \)

\( \displaystyle (n+2)(n+1)x_{n+2} + (n+2)x_{n+2} + x_n - k^2 x_{n+2} = 0 \)

Doù \( x_1 = 0 \) et

\( \displaystyle \left((n+2)^2 - k^2\right)x_{n+2} = - x_n \)

Par récurrence,

\( \displaystyle x_{2p} = \prod_{p=0}^{+\infty} \frac{-1}{(2p)^2 - k^2} \)

\( \displaystyle x_{2p} = (-1)^p \frac{k!}{p! 2^{2p} (p+k)!} \)