Considérons \( E \), un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel de dimension finie muni de la norme \( {\lVert \,.\,\lVert }_{\infty} \).

L'objectif de l'exercice est de prouver que toutes les normes sur \( E \) sont équivalentes. Pour ce faire, considérons une norme \( N \) sur \( E \) et montrons qu'elle est équivalente à \( {\lVert \,.\,\lVert }_{\infty} \).

On note \( \mathscr{S} = \{ x\in E ~~|~~ \lVert x\lVert_{\infty} = 1\} \), la sphère unité de \( E \).

1. Montrer que \( \mathscr{S} \) est une partie compacte de \( E \).

2. Montrer que \( N \) est continue.

3. En déduire qu'il existe \( m\in\mathbb{R}^{+*} \) et \( M\in\mathbb{R}^{+*} \) telles que :

\( \forall u \in \mathscr{S}, ~~~~ m \leq N(u) \leq M \)

4. En déduire que \( N \) et \( {\lVert \,.\,\lVert }_{\infty} \) sont équivalentes.

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Solution

1. Montrer que \( \mathscr{S} \) est une partie compacte de \( E \).

Dans un espace vectoriel de dimension finie, une partie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Or, \( \mathscr{S} \) est bien une partie bornée par construction, et ferméee comme image réciproque du singleton \( {1} \) par la fonction continue \( {\lVert \,.\,\lVert }_{\infty} \).

2. Montrer que \( N \) est continue.

Pour montrer que \( N \) est continue, nous allons montrer qu'elle est lipschitzienne.
Notons par \( (e_1, \dots, e_n) \) une base canonique de \( E \).
Considérons \( u\in E \) et \( v\in E \).

\( \exists (u_1, \dots, u_n) \in {\mathbb K}^n : \)      \( u = \displaystyle\sum_{i=1}^n u_i e_i \)

\( \exists (v_1, \dots, v_n) \in {\mathbb K}^n : \)      \( v = \displaystyle\sum_{i=1}^n v_i e_i \)

Nous obtenons alors que par inégalité triangulaire :

\( | N(u) - N(v) | \leq N(u-v) \)

\( | N(u) - N(v) | \leq N\left({\small\displaystyle\sum_{i=1}^n (u_i - v_i)\,e_i}\right) \)

De nouveau, par inégalité triangulaire :

\( | N(u) - N(v) | \leq \displaystyle\sum_{i=1}^n N\big( (u_i - v_i)\,e_i\big) \)

\( | N(u) - N(v) | \leq \displaystyle\sum_{i=1}^n |u_i - v_i| N(e_i) \)

Par définition de la norme \( {\lVert \,.\,\lVert }_{\infty} \) :

\( | N(u) - N(v) | \leq \lVert u-v\lVert_{\infty} \) \( \times\underbrace{\displaystyle\sum_{i=1}^n N(e_i)}_{k\in{\mathbb R}^+} \)

\( N \) est donc \( k \)-lipschitzienne, et ainsi continue sur \( E \).

3. En déduire qu'il existe \( m\in\mathbb{R}^{+*} \) et \( M\in\mathbb{R}^{+*} \) telles que :

\( \forall u \in \mathscr{S}, ~~~~ m \leq N(u) \leq M \)

\( \mathscr{S} \) est une partie compacte et \( N \) est continue. Donc \( N(\mathscr{S}) \) est une partie compacte de \( {\mathbb R}^+ \). Notamment, il existe \( x\in \mathscr{S} \) et \( y\in \mathscr{S} \) tels que :

\( N(x) = \min \left\{ N(u) ~~|~~ u\in\mathscr{S} \right\} \)

\( N(y) = \max \big\{N(u) ~~|~~ u\in\mathscr{S} \big\} \)

De plus, puisque \( 0_E \notin \mathscr{S} \), \( N \) étant définie positive, \( N(x)\neq 0 \) et \( N(y)\neq 0 \).

Finalement,

  \( \forall u \in \mathscr{S}, \)      \( \underbrace{N(x)}_m \leq N(u) \leq \underbrace{N(y)}_M \)

4. En déduire que \( N \) et \( {\lVert \,.\,\lVert }_{\infty} \) sont équivalentes.

Soit \( u\in E \) tel que \( u\neq 0_E \). Alors \( \dfrac{1}{ \lVert u\lVert_{\infty} }u\in\mathscr{S} \). Ainsi,

\( m \leq N\left(\dfrac{1}{ \lVert u\lVert_{\infty} }u \right) \leq M \)

\( m \leq \dfrac{1}{ \lVert u\lVert_{\infty} } N(u) \leq M \)

\( m\times \lVert u\lVert_{\infty}\leq N(u) \leq M\times \lVert u\lVert_{\infty} \)

Autrement dit, \( N \) et \( {\lVert \,.\,\lVert }_{\infty} \) sont équivalentes.