Soit \( [a; b]\subset {\mathbb R} \) et \( x_0, \dots, x_n \) une subdivision de \( [a; b] \).
Montrer qu'il existe \( a_0, \dots, a_n \) tel que pour tout \( P\in{\mathbb R}_n[X] \),

\( \displaystyle \int_a^b P(x)dx = \sum_{i=0}^n a_i P(x_i) \)

\( \displaystyle L_i = \prod_{j\neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \)

\( \displaystyle L_i (x_j) = \begin{cases} 1 & \text{si}~i = j\\ 0 & \text{sinon}\end{cases} \)

\( \displaystyle P = \sum_{j=0}^n P(x_j) L_j \)

\( \displaystyle {L_i}^*(P) = {L_i}^*\left(\sum_{j=0}^n P(x_j) L_j\right) \)

\( \displaystyle \phantom{{L_i}^*(P)} = \sum_{j=0}^n P(x_j) {L_i}^*(L_j) \)

\( \displaystyle \phantom{{L_i}^*(P)} = P(x_i) \)

\( \displaystyle \phi(P) = \int_a^b P(x)dx \)

\( \displaystyle \phi = \sum_{i=0}^n \phi(L_i)L_i^* \)

\( \displaystyle \phi(P) = \sum_{i=0}^n \phi(L_i) L_i^*(P) \)

\( \displaystyle \phantom{\phi(P)} = \sum_{i=0}^n a_i P(x_i) \)

■

Solution

Utilisons les polynômes de Lagrange. Pour \( i\in\left[\!\left[0; n\right]\!\right] \), posons :

Il est clair que pour tout \( j\in\left[\!\left[0; n\right]\!\right] \),

Ainsi, \( (L_0; \dots; L_n) \) forme une base de \( {\mathbb R}_n[X] \), et pour tout \( P\in{\mathbb R}_n[X] \) :

Passons au dual.
Notons \( ({L_0}^*; \dots; {L_n}^*) \) la base associée de \( {\mathbb R}_n[X]^* \).
Remarquons que :

Finalement, considérons l'application \( \phi : {\mathbb R}_n[X] \rightarrow {\mathbb R} \) définie par :

Par linéarité de l'intégration, \( \phi \) est une forme linéaire : nous pouvons donc la décomposer sur la base duale.

En posant \( a_i = \phi(L_i) \), nous obtenons bien :