Considèrons \( (E, \lVert .\lVert ) \) et \( (F, \lVert .\lVert ) \), deux \( {\mathbb K} \)-espaces vectoriels normés.

Soit \( K\subset E \), une partie compacte.

Soit \( f : K\rightarrow F \) continue.

L'objectif est de prouver que toute fonction continue sur une partie compacte est uniformément continue. Il s'agit du théorème de Heine, fondamental en Analyse : il permet notamment de justifier la construction de l'intégrale de Riemann.

1. Fixons \( \epsilon\in{\mathbb R}^{+*} \) et considérons :
 
     \( C = \big\{ (x, y) \in K^2 ~~|~~ \lVert f(x) - f(y)\lVert \geq \epsilon\big\} \).
 
Justifier que \( C \) est une partie compacte.

2. En déduire qu'il existe \( \eta\in{\mathbb R}^{+*} \) tel que pour tout \( (x, y) \in K^2 \),
 
     \( \lVert f(x) - f(y)\lVert \geq \epsilon \Longrightarrow \lVert x - y \lVert \geq \eta \)
 

3. Conclure.

■

Solution

1. Fixons \( \epsilon\in{\mathbb R}^{+*} \) et considérons :
 
     \( C = \big\{ (x, y) \in K^2 ~~|~~ \lVert f(x) - f(y)\lVert \geq \epsilon\big\} \).
 
Justifier que \( C \) est une partie compacte.

\( K \) étant une partie compacte, \( K\times K \) l'est aussi.

Par construction \( C \) est une partie fermée (i.e. l'inégalité est large).

Or, une partie fermée d'une partie compacte est compacte.

2. En déduire qu'il existe \( \eta\in{\mathbb R}^{+*} \) tel que pour tout \( (x, y) \in K^2 \),
 
     \( \lVert f(x) - f(y)\lVert \geq \epsilon \Longrightarrow \lVert x - y \lVert \geq \eta \)
 

L'application \( d : E\times E \rightarrow {\mathbb R}^+ \) définie par \( d(x; y) = \lVert x - y\lVert \) est continue comme composée de fonctions continues.
Donc \( d(C) \) est une partie compacte, et notamment, il existe \( (a, b)\in C \) tel que

\( d(a; b) = \min\{\lVert x - y \lVert ~~|~~ (x; y)\in C\} \)

Notons \( \eta \) ce minimum.

Ainsi, pour tout \( (x; y)\in E\times E \),

\( \underbrace{(x;y)\in C}_{\lVert f(x) - f(y)\lVert \geq \epsilon}\Longrightarrow \underbrace{d(x;y) \geq \eta}_{\lVert x - y \lVert \geq \eta} \)

3. Conclure.

Par contraposée, pour tout \( (x; y)\in E\times E \),

\( \lVert x - y \lVert < \eta \Longrightarrow \lVert f(x) - f(y)\lVert < \epsilon \)

Ce qui est la définition même de la continuité uniforme.