Fixons \( {\mathbb K} = {\mathbb R} \) ou \( {\mathbb C} \).

Soit \( (E, \lVert .\lVert ) \), un \( {\mathbb K} \)-espace de Banach, et \( f : E\rightarrow E \) une application contractante. Autrement dit, il existe \( k\in [0; 1[ \) tel que pour tout \( (x; y)\in E^2 \),

\( \displaystyle \lVert f(x) - f(y) \lVert \leqslant k \lVert x - y \lVert \)

Fixons \( x_0\in E \) et définissons \( (x_n) \) par récurrence :

\( \displaystyle \forall n\in {\mathbb N}, ~~~~ x_{n+1} = f(x_n) \)

1. Montrer que si \( f \) admet un point fixe, il est unique.

\( \displaystyle \lVert f(x) - f(y) \lVert = \lVert x - y \lVert \)

\( \displaystyle \lVert x - y \lVert \leqslant k \lVert x - y \lVert \)

Pour plus de clarté, définissons la suite \( (u_n) \) par :

\( \displaystyle \forall n\in {\mathbb N}, ~~~~ u_n = x_{n+1} - x_n \)

2. Montrer que pour tout \( n\in{\mathbb N} \), \( \lVert u_n\lVert \leqslant k^n \lVert x_0\lVert \).

\( \displaystyle \lVert u_n\lVert = \lVert x_{n+1} - x_n\lVert = \lVert f(x_n) - f(x_{n-1}) \lVert \)

\( \displaystyle \lVert u_n\lVert \leqslant k \lVert u_{n-1}\lVert \)

\( \displaystyle \lVert u_n\lVert \leqslant k^n \lVert x_0\lVert \)

3. En déduire que \( (x_n) \) converge.

\( \displaystyle \sum_{i=0}^n u_i = \sum_{i=0}^n x_{i+1} - x_i = \sum_{i=0}^n x_{i+1} - \sum_{i=0}^n x_i = x_{n+1} - x_0 \)

4. Montrer que la limite de \( (x_n) \) est un point fixe de \( f \).

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Solution

1. Montrer que si \( f \) admet un point fixe, il est unique.

Supposons que \( x \) et \( y \) soient deux points fixes.

Ainsi, nous obtenons que

Mais \( k<1 \), donc \( \lVert x - y \lVert = 0 \) d'où \( x = y \).

2. Montrer que pour tout \( n\in{\mathbb N} \), \( \lVert u_n\lVert \leqslant k^n \lVert x_0\lVert \).

Pour tout \( n\in{\mathbb N}^* \),

Puisque \( f \) est \( k \)-lipschitzienne, \( \lVert u_n\lVert \leqslant k \lVert x_n - x_{n-1}\lVert \), c'est à dire :

Par récurrence, pour tout \( n\in{\mathbb N} \),

3. En déduire que \( (x_n) \) converge.

Par élimination télescopique, pour tout \( n\in{\mathbb N} \),

Ainsi, les suites \( (x_n) \) et \( \displaystyle \left(\sum u_n\right) \) sont de même nature.

D'autre part, la série \( \displaystyle \left(\sum \lVert u_n\lVert \right) \) converge, puisque dominée par une série géométrique convergente.

Mais \( E \) est un espace de Banach : si \( \displaystyle \left(\sum \lVert u_n\lVert \right) \) converge, alors \( \displaystyle \left(\sum u_n\right) \) converge et donc \( (x_n) \) converge aussi !

4. Montrer que la limite de \( (x_n) \) est un point fixe de \( f \).

Puisque \( (x_n) \) converge, notons \( l = \lim x_n \).

\( f \) étant lipschitzienne, elle est continue. Donc \( \lim f(x_n) = f(\lim x_n) = f(l) \).

Mais, par construction, \( f(x_n) = x_{n+1} \). Donc \( \lim f(x_n) = \lim x_n = l \).

Finalement, \( f(l) = l \) : la limite de la suite \( (x_n) \) existe et c'est l'unique point fixe de \( f \).