Dans tout ce qui suit, \( I \) et \( J \) désignent des ensembles dénombrables.

1. Cas des réels positifs

Considérons une famille \( (u_i)_{i\in I}\in[0; +\infty[^I \).

1. Définition - On dit que \( (u_i)_{i\in I} \) est sommable si :

\( \displaystyle \sup \left\{ \sum_{i\in F} u_i ~|~ F\subset I ~~ \text{et} ~~ \text{F est finie} \right\} < +\infty \)

Dans ce cas, cette borne supérieure est notée \( \displaystyle\sum_{i\in I} u_i \).

2. Cas particulier - Si \( I={\mathbb N} \), les notions de famille sommable et de suite convergente coïncident et \( \displaystyle\sum_{i\in {\mathbb N}} u_i = \sum_{i=0}^{+\infty} u_i \).

4. Théorème [sommation par paquet]
Considérons \( (I_j)_{j\in J} \) une partition de \( I \).
Alors \( (u_i)_{i\in I} \) est sommable si et seulement si pour tout \( j\in J \), \( (u_i)_{i\in I_j} \) est sommable.

Dans ce cas, \( \displaystyle\sum_{i\in I} u_i = \sum_{j\in J} \sum_{i\in I_j} u_i \).

2. Cas général

Considérons une famille \( (x_i)_{i\in I}\in{\mathbb R}^I \).

1. Définition - On dit que \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable si \( (|x_i|)_{i\in I} \) est sommable.

Pour la suite, pour tout \( i\in I \), définissons \( x_i^+ = \max(x_i; 0) \) et \( x_i^- = \max(- x_i; 0) \).

2. Propriété - \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable si et seulement si \( (x_i^+)_{i\in I} \) et \( (x_i^-)_{i\in I} \) sont sommables. Dans ce cas,

\( \displaystyle \sum_{i\in I} |x_i| = \sum_{i\in I} x_i^+ + \sum_{i\in I} x_i^- \)

3. Définition - Si \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable, on note \( \displaystyle \sum_{i\in I} x_i = \sum_{i\in I} x_i^+ - \sum_{i\in I} x_i^- \).

4. Cas particulier - Dans le cas particulier où \( I={\mathbb N} \), les notions de famille sommable et de suite absolument convergente coïncident et \( \displaystyle\sum_{i\in {\mathbb N}} x_i = \sum_{i=0}^{+\infty} x_i \).

5. Propriété [inégalité triangulaire]

Si \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable, alors \( \left| \sum_{i\in I} x_i \right| \leqslant \sum_{i\in I} |x_i| \).

6. Propriété
Considérons \( (I_j)_{j\in J} \) une partition de \( I \).
Si \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable, alors pour tout \( j\in J \), \( (x_i)_{i\in I_j} \) est sommable.

Dans ce cas, \( \displaystyle\sum_{i\in I} x_i = \sum_{j\in J} \sum_{i\in I_j} x_i \).

Notons que, contrairement au cas positif, il n'y a pas d'équivalence.

3. Structure algébrique

Considérons trois familles \( (x_i)_{i\in I}\in{\mathbb R}^I \), \( (y_i)_{i\in I}\in{\mathbb R}^J \) et \( (z_j)_{j\in J}\in{\mathbb R}^J \).

1. Théorème [linéarité]
Si \( (x_i)_{i\in I} \) et \( (y_i)_{i\in I} \) sont sommables, alors pour tout \( \alpha\in{\mathbb R} \) et \( \beta\in{\mathbb R} \), \( (\alpha x_i + \beta y_i)_{i\in I} \) est sommable.
De plus,

\( \displaystyle \sum_{i\in I}\alpha x_i + \beta y_i = \alpha \sum_{i\in I} x_i + \beta\sum_{i\in I} y_i \)

Autrement dit, l'ensemble des familles sommables de \( {\mathbb R}^I \) forme un \( {\mathbb R} \)-espace vectoriel. De plus, l'application associant sa somme à une famille sommable est une forme linéaire.

2. Théorème [de Fubini]
Si \( (x_i)_{i\in I} \) et \( (z_j)_{j\in J} \) sont sommables, alors \( (x_i\,z_j)_{(i; j)\in I\times J}\in{\mathbb R}^{I\times J} \) est sommable.
De plus,

\( \displaystyle \sum_{(i; j)\in I\times J} x_i \,z_j = \sum_{i\in I} x_i \times \sum_{j\in J} z_j \)