Dans tout ce qui suit, \( I \) et \( J \) désignent des ensembles dénombrables - c'est à dire qu'il existe une bijection entre \( I \) (respectivement \( J \)) et \( {\mathbb N} \).

De plus, \( (u_i)_{i\in I}\in[0; +\infty[^I \) et \( (x_i)_{i\in I}\in{\mathbb R}^I \).

1. Cas des réels positifs

1. Définition - On dit que \( (u_i)_{i\in I} \) est sommable si :

\( \displaystyle \sup \left\{ \sum_{i\in F} u_i ~|~ F\subset I ~~ \text{et} ~~ \text{F est finie} \right\} < +\infty \)

Dans ce cas, cette borne supérieure est notée \( \displaystyle\sum_{i\in I} u_i \).

3. Théorème [sommation par paquet]
Soient \( (I_j)_{j\in J} \) une partition de \( I \).
Alors \( (u_i)_{i\in I} \) est sommable si et seulement si pour tout \( j\in J \), \( (u_i)_{i\in I_j} \) est sommable.

Dans ce cas, \( \displaystyle\sum_{i\in I} u_i = \sum_{j\in J} \sum_{i\in I_j} u_i \).

2. Cas général

1. Définition - On dit qu'une famille \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable si \( (|x_i|)_{i\in I} \) est sommable.

Pour la suite, pour tout \( i\in I \), définissons \( x_i^+ = \max(x_i; 0) \) et \( x_i^- = \max(- x_i; 0) \).

2. Propriété - \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable si et seulement si \( (x_i^+)_{i\in I} \) et \( (x_i^-)_{i\in I} \) sont sommables.

Dans ce cas, \( \displaystyle\sum_{i\in I} |x_i| = \sum_{i\in I} x_i^+ + \sum_{i\in I} x_i^- \).

3. Définition - Si \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable, on note :

\( \displaystyle \sum_{i\in I} x_i = \sum_{i\in I} x_i^+ - \sum_{i\in I} x_i^- \)

4. Propriété [inégalité triangulaire] - Si \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable, alors :

\( \displaystyle \left| \sum_{i\in I} x_i \right| \leqslant \sum_{i\in I} |x_i| \)

5. Théorème
Soient \( (I_j)_{j\in J} \) une partition de \( I \).
Si \( (x_i)_{i\in I} \) est sommable, alors pour tout \( j\in J \), \( (x_i)_{i\in I_j} \) est sommable.

Dans ce cas, \( \displaystyle\sum_{i\in I} x_i = \sum_{j\in J} \sum_{i\in I_j} x_i \).

6. Théorème [linéarité]
L'ensemble des familles sommables de \( {\mathbb R}^I \) est un \( {\mathbb R} \)-espace vectoriel.

7. Théorème [de Fubini]
Soient \( (x_i)_{i\in I}\in{\mathbb R}^I \) et \( (y_j)_{j\in J}\in{\mathbb R}^J \) deux familles sommables.

Alors \( (x_i\,y_j)_{(i; j)\in I\times J}\in{\mathbb R}^{I\times J} \) est sommable et \( \displaystyle\sum_{(i; j)\in I\times J} x_i \,y_j = \sum_{i\in I} x_i \times \sum_{j\in J} y_j \).