Dans toute la leçon,
- \( {\mathbb K} = {\mathbb R} \) ou \( {\mathbb C} \)
- \( E \) est un \( {\mathbb K} \) espace vectoriel de dimension \( n > 1 \).
- \( L(E) \) désigne l'ensemble des endomorphismes de \( E \).

La dimension étant finie, une fois une base choisie pour $E$, $L(E)$ s'identifie à ${\cal M}_n(\IK)$.

1. Structure de groupe

1. Définition - On note \( GL(E) \) l'ensemble des automorphismes (i.e. endomorphismes inversibles ) de \( E \).

Attention : le groupe n'est pas abélien, évidemment !

2. Exemple

Pour tout \( \lambda\in{\mathbb K}^* \), l'application \( h_{\lambda} : E\rightarrow E \) définie par

\( \displaystyle \forall x\in E, ~~~~ h_{\lambda}{x) = \lambda.x \)

\( h_{\lambda} \) est appelé homothétie de rapport\( \lambda \).

2. Propriété - \( \left(GL(E), \circ\right) \) est un groupe.

3. Propriété - L'ensemble des homothéties de \( E \), noté \( {\cal Z}(E) \), est un sous-groupe de \( GL(E) \), isomorphe à \( {\mathbb K}^* \).

4. Propriété - Le centre de \( GL(E) \) est \( {\cal Z}(E) \)

2. Identification matricielle

1. Définitions - Dans le cas particulier \( E = {\mathbb K}^n \), alors :
- \( L({\mathbb K}^n) \) est noté \( {\cal M}_n({\mathbb K}) \), appelé ensemble de matrices.
- \( GL({\mathbb K}^n) \) est noté \( GL_n({\mathbb K}) \).

2. Propriété [Isomorphisme] - Dans le cas général,
- \( E \) est isomorphe à \( {\mathbb R}^n \).
- \( GL(E) \) est isomorphe à \( GL_n({\mathbb K}) \).

Attention ! Cet isomorphisme n'est pas canonique, il dépend de la base choisie pour \( E \).

a) Le groupe Spécial Linéaire

Définition - \( SL(E) \). Ensemble des matrices de déterminant 1;

3. Structure topologique

Munissons \( E \) d'une structure d'espace vesctoriel normé.

1. Propriétés
- \( GL(E) \) est une partie ouverte de \( L(E) \).
- \( SO(E) \) est une partie fermée de \( L(E) \).

2. Théorème \( GL(E) \) est une partie dense de \( L(E) \).

4. Structure euclidienne

Pour terminer, munissons \( E \) d'une structure d'espace euclidien.
Notons \( <.|.> \) son produit scalaire.

1. Propriété & définition - L'ensemble des automorphismes préservants le produit scalaire de \( E \) est un sous-groupe de \( GL(E) \).
Il est appelé sous-groupe orthogonale, noté \( O(E) \).

2. Propriété [caractérisation matricielle]

\( O_n({\mathbb K}) = O({\mathbb K}^n) = \left\{ A\in GL_n({\mathbb K}) ~~|~~ \det(A) = \pm 1 \right\} \)

3. Propriété (topologique) - \( O(E) \) est une partie compacte de \( GL(E) \).

4. Définition - On appelle sous-groupe spécial orthogonal, noté \( SO(E) \) :

\( SO(E) = SL(E)\cap O(E) \).

5. Propriété [caractérisation matricielle]

\( SO_n({\mathbb K}) = SO({\mathbb K}^n) = \left\{ A\in GL_n({\mathbb K}) ~~|~~ \det(A) = 1\right\} \)

6. Propriété (topologique) - \( SO(E) \) est une partie compacte de \( GL(E) \).