Dans toute la leçon,
- \( n \) désigne un entier naturel non nul.
- \( I \) désigne un intervalle de \( {\mathbb R} \).
- \( f \) est une fonction de \( I\rightarrow {\mathbb R} \).

1. Algébriquement !

Définition - On dit que \( f \) est inversible s'il existe une fonction \( g : Im(f) \rightarrow I \) telle que

\( f\circ g = g\circ f = Id \)

La fonction \( g \) est alors appelée fonction réciproque de \( f \), notée \( f^{-1} \).

Propriété - Si \( f \) est inversible, alors les courbes représentatives de \( f \) et \( f^{-1} \), dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la bissectrice d'équation \( y = x \).

Sans autre hypothèse sur \( f \) il n'y a peu à dire !

2. Analytiquement !

a) Généralités

1. Rappel [Théorème des valeurs intermédiares]
Si \( f \) est continue, alors \( f(I) \) est un intervalle de \( {\mathbb R} \).

Autrement dit, si \( f \) est inversible sur \( I \), alors sa réciproque \( f^{-1} \) est aussi définie sur un intervalle.

2. Propriété - Si \( f \) est inversible et croissante (resp. décroissante), alors \( f^{-1} \) est croissante (resp décroissante).

3. Propriétés - Si \( f \) est inversible et continue, alors :
- \( f \) est strictement monotone.
- \( f^{-1} \) est continue et strictement monotone.

4. Définition On dit que \( f \) est un homéomorphisme si \( f \) est continue, inversible et \( f^{1} \) est continue.

b) Intégration

Une fonction continue sur un intervalle, on a forcément envie de l'intégrer sur un segment, pour voir de quoi il en retourne.
Cela donne un joli résultat :

5. Théorème [Inégalité de Young généralisé]
Considérons une fonction \( f : [0; m] \rightarrow {\mathbb R} \) continue et strictement croissante, donc inversible, telle que \( f(0) = 0 \).
Soient \( a\in[0; m] \) et \( b\in[0; f(m)] \). Alors :

\( ab\leq \displaystyle\int_0^a f(x)dx + \displaystyle\int_0^b f^{-1}(y)dy \)

De plus, l'égalité est obtenue si et seulement si \( b = f(a) \).

Ce théorème, permet de démontrer l'inégalité de Hölder :)

c) Dérivation

Enfin, pour terminer notre tour d'horizon, on arrive à la quête d'une dérivée possible.

6. Théorème
Considérons \( x\in I \).
Si \( f \) est un homéomorphisme, dérivable en \( x\in I \), alors \( f^{-1} \) est dérivable en \( y =f(x) \) si seulement si \( f'(x)\neq 0 \). Dans ce cas :

\( \left(f^{-1}(y)\right)' = \dfrac{1}{f'(x)} \)

3. Applications

a) Fonctions réciproques des fonctions usuelles

Fonction puissance

Fonction exponentielle

Fonction trigonometrique

Fonction trigonometrique hyperbolique

b) Changement de variable en intégration