Exercice
Résoudre sur \( \mathbb{R} \) le système différentiel \( X' = AX \), où \( A =\begin{pmatrix}1 & 2& 1\\-1 & -2 & -1 \\1 & 2& 1\end{pmatrix} \).

On commence par remarquer que \( A^2 = 0 \).

Dès lors, pour tout \( t\in\mathbb{R} \), \( e^{tA} = Id + tA \).

Les solutions sur \( \mathbb{R} \) du système différentiel sont de la forme :

\( X = (Id + tA)\times \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+t & 2t& t\\-t & 1-2t & -t \\t & 2t& 1+t\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix} \)

où \( (\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^3 \). Autrement dit :

Les solutions du sytème différentiel sont de la forme :

\( X = \alpha\begin{pmatrix}1+t\\-t \\t\end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix}2t\\1-2t\\2t\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}t\\-t \\1+t\end{pmatrix} \)

où \( (\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb{R}^3 \).