1. Compacité

1. Théorème - Les segments sont des parties compactes de \( {\mathbb R} \).

Idée : on utilise la caractérisation de Bolzanno-Weierstrass !
On considère une suite bornée. Elle est incluse dans un segment. Par dichotomie et récurrence, on construit ainsi une sous suite. D'après de théorème des segments emboités, cette sous-suite admet une limite.

2. Application [Théorème de Rolle]
Soit \( f : [a; b]\rightarrow {\mathbb R} \) continue telle que :
- \( f \) est dérivable sur \( ]a; b[ \).
- \( f(a) = f(b) \).
Alors il existe \( x_0\in[a; b] \) tel que \( f'(x_0) = 0 \).

3. Corollaire n^o1 - Toute partie fermée et bornée de \( {\mathbb R} \) est compacte.

Idée : une partie bornée peut être incluse dans un segment. Or, une partie fermée dans une partie compacte est compacte.
Par récurrence, puisque le produit de deux parties compactes est compacte, nous obtenons :

4. Corollaire n^o2 - Toute partie fermée et bornée de \( {\mathbb R}^n \) est compacte.

5. Théorème [Equivalence des normes]
Sur \( {\mathbb R}^n \), toutes les normes sont équivalentes.

6. Corollaire - Sur \( {\mathbb R}^n \), toute fonction linéaire est continue.

2. Continuité

1. Définition - Une fonction \( f : (E, \lVert .\lVert ) \rightarrow (F, \lVert .\lVert ) \) est uniformément continue sur une partie \( A\subset E \) si :

\( \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 : \forall (x; y)\in A^2, \)

||x - y|| < \eta \Longrightarrow || f(x) - f(y) || < \epsilon

2 Exemple : la fonction carrée est uniformément continue sur \( [0; 1] \), mais pas sur \( ]0; +\infty[ \).

3. Propriété - Toute fonction uniformément continue est continue.

4. Théorème [Heine] Dans un espace vectoriel normé, toute fonction continue sur une partie compacte est uniformément continue sur cette partie.

5. Applications
- On peut approcher uniformément toute fonction continue sur un segment par des fonctions en escalier, ce qui conduit à la construction de l'intégrale de Riemann.
- On peut approcher uniformément toute fonction continue sur un segment par des fonctions polynomiales. C'est le théorème de Weierstrass.

3. Applications

a) Généralisation

Par isomorphisme isométrique, dans un espace vectoriel normé de dimension finie :
- les parties fermées et bornées sont les parties compactes.
- toutes les normes sont équivalentes.

b) Sur les matrices

\( {\cal O}_n({\mathbb R}) \) est une partie compacte de \( {\cal M}_n({\mathbb R}) \).

\( {\cal SO}_n({\mathbb R}) \) est une partie compacte de \( {\cal M}_n({\mathbb R}) \).