La notion de compacité s'étale sur plusieurs structures topologiques.
Chacune d'entre elles offre différents outils pour manipuler la compacité.

1. Espace topologique séparé

- Définition de Borel-Lebesgue : une partie \( K \) est compacte si et seulement si tout recouvrement ouvert de \( K \) admet un sous-recouvrement fini.
- \( K \) est une partie fermée.
- Une partie fermée dans une partie compacte est compacte.
- L'image par une fonction continue d'une partie compacte est compacte.

2. Espace métrique

- \( K \) est une partie bornée.
- Théorème de Bolzanno-Weierstrass : une partie \( K \) est compacte si et seulement si toute suite de \( K^{{\mathbb N}} \) admet une sous-suite convergente.

3. Espace vectoriel normé de dimension finie.

- Une partie \( K \) est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.