Dans tout ce qui suit, \( X \) et \( Y \) désignent deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur un espace probabilisé \( (\Omega, {\cal M}, P) \).

De plus, \( \Phi \) désigne une application \( X(\Omega)\times Y(\Omega) \rightarrow {\mathbb R} \).

Typiquement, \( X + Y \) ou \( XY \) pourront être vues comme des applications \( \Phi \) particulières.

1. Couples de Variables Aléatoires

\( P_{(X; Y)} (x, y) = P(\{X = x\}\cap\{Y = y\}) \)

On note simplement \( P_{(X; Y)}(x, y) = P(X = x; Y = y) \).

2) Définition - On dit que \( X \) et \( Y \) sont indépendantes si pour tout \( x\in X(\Omega) \) et \( y\in Y(\Omega) \),

\( P(X = x; Y = y) = P(X = x)P(Y = y) \)

Attention ! Cette notion n'est pas forcément aussi évidente quelle semble l'être : indépendance mathématique ne signifie pas indépendance logique.
Il suffit pour s'en convaincre de prendre \( X = 2 \) et \( Y = X^2 \).
Intuitivement, \( Y \) dépend de \( X \) puisqu'il intervient dans sa définition… mais \( X \) et \( Y \) sont indépendants mathématiquement !

3) Propriété - Pour tout \( x\in {\mathbb R} \),

\( P(X = x) = \displaystyle\sum_{y\in Y(\Omega)} P(X = x; Y = y) \).

Démonstration : pour tout \( x\in {\mathbb R} \),

\( \displaystyle P(X = x) = P(\{ X = x\} \cap \Omega \}) \)

\( \displaystyle \phantom{P(X = x)} = P(\{ X = x\} \cap (\cup_{y\in Y(\Omega)} \{Y = y\} \}) \)

\( \displaystyle \phantom{P(X = x)} = P(\cup_{y\in Y(\Omega)} \{ X = x\} \cap\{Y = y\}) \)

S'agissant d'un ensemble dénombrable de parties disjointes,

\( \displaystyle P(X = x) = \sum_{y\in Y(\Omega)} P(\{ X = x\} \cap\{Y = y\}) \)

\( \displaystyle \phantom{P(X = x)} = \sum_{y\in Y(\Omega)} P(X = x, Y = y) \)

■

4) Vocabulaire - On dit que les lois de \( X \) et \( Y \) sont les lois marginales de la loi conjointe de \( (X; Y) \).

2. Application sur un couple

On cherche à étudier la loi de la variable aléatoire \( \Phi(X, Y) \).
Par exemple, on pourra ainsi étudier les lois de \( X + Y \), \( XY \) …

1) Propriété - Pour tout \( z \in {\mathbb R} \),

\( P(\Phi(X, Y) = z) = \displaystyle\sum_{(x, y)\in \Phi^{-1}(z)} P(X = x; Y= y) \)

Démonstration : pour tout \( z\in {\mathbb R} \),

\( \displaystyle P(\Phi(X, Y) = z) = P(\cup_{(x, y)\in \Phi^{-1}(z)} \{X = x\} \cap \{Y = y\}) \)

S'agissant d'un ensemble dénombrable de parties disjointes,

\( \displaystyle P(\Phi(X, Y) = z) = \sum_{(x, y)\in \Phi^{-1}(z)} P(\{X = x\} \cap \{Y = y\}) \)

\( \displaystyle \phantom{P(\Phi(X, Y) = z)} = \sum_{(x, y)\in \Phi^{-1}(z)} P(X = x; Y= y) \)

■

2) Théorème - Sous réserve d'existence,

\( E(\Phi(X; Y)) = \displaystyle\sum_{(x; y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)}\phi(x; y)P(X = x; Y = y) \)

Démonstration - Revenons à la définition !

\( \displaystyle E(\Phi(X; Y)) = \sum_{z\in \Phi(X; Y)(\Omega)} P(\Phi(X; Y) = z)\,z \)

\( \displaystyle \phantom{E(\Phi(X; Y))} = \sum_{z\in \Phi(X; Y)(\Omega)} ( \sum_{(x, y)\in \Phi^{-1}(z)} P(X = x; Y= y) )\,z \)

\( \displaystyle \phantom{E(\Phi(X; Y))} = \sum_{z\in \Phi(X; Y)(\Omega)} \sum_{(x, y)\in \Phi^{-1}(z)} P(X = x; Y= y)\,z \)

\( \displaystyle \phantom{E(\Phi(X; Y))} = \sum_{z\in \Phi(X; Y)(\Omega)} \sum_{(x, y)\in \Phi^{-1}(z)} P(X = x; Y= y)\,\Phi(x; y) \)

Ainsi, d'après le théorème de sommation par paquets,

\( \displaystyle \phantom{E(\Phi(X; Y))} = \sum_{(x; y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} P(X = x; Y= y)\,\Phi(x; y) \)

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3) Corollaire [Linéarité de l'espérance] - Sous réserve d'existence, pour tout \( a\in{\mathbb R} \) et \( b\in{\mathbb R} \),

\( E(aX + bY) = a\times E(X) + b\times E(Y) \)

Démonstration - Posons \( \Phi(X; Y) = aX + bY \). Alors,

\( \displaystyle E(aX + bY) = \sum_{(x; y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} P(X = x; Y= y)\,(ax +by) \)

\( \displaystyle \phantom{E(aX + bY)} = \sum_{(x; y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} a P(X = x; Y= y)\,x + b P(X = x; Y= y) y \)

Les espérances de \( X \) et \( Y \) étant définies,

\( \displaystyle E(aX + bY) = a \sum_{(x; y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} P(X = x; Y= y)\,x \)\( \displaystyle + b \sum_{(x; y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} P(X = x; Y= y)\,y \)

\( \displaystyle E(aX + bY) = a \sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,x \)\( \displaystyle + b \sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y= y)\,y \)

+ bY) = a\times E(X) + b\times E(Y)