Dans tout ce qui suit, \( (X_n) \) désigne une suite de variables aléatoires réelles, indépendantes et identiquement distribuées, définies sur un espace probabilisé \( (\Omega, {\cal M}, P) \).

On suppose que chaque \( X_n \) suit une loi binomiale \( {\cal B}(n, p_n) \).

Pour \( n \) assez grand, il est posssible de trouver d'autres lois, proche de \( {\cal B}(n, p_n) \), mais bien plus simple à calculer.

1. Une loi de Poisson

La loi de \( X_n \) peut être approchée par une loi de Poisson \( {\cal P}(np) \) si \( n \) est suffisamment grand et \( p \) suffisamment petit. Plus précisemment :

Théorème [de la loi des événements rares]
Si \( (n\,\,p_n) \) converge vers \( \lambda > 0 \), alors \( (X_n) \) converge en loi vers \( {\cal P}(\lambda) \).

Autrement dit, pour tout \( k\in\mathbb{N} \) :

\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty} P(X_n = k) = e^{-\lambda}\times\dfrac{\lambda^k}{k!} \)

En pratique, il faut s'assurer que :

Cas n°1 : \( n \geqslant 20 \) et \( p \leqslant 0.01 \)

Cas n°2 : \( n \geqslant 100 \) et \( p \leqslant 0.1 \)

2. Une loi normale

Supposons ici que \( (p_n) \) est constante, notée simplement \( p \).

Toutes les variables \( X_n \) admettent la même espérance, notée \( \mu \), et le même écart-type noté \( \sigma \)

Posons :

\( \displaystyle \overline{X_n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \)

Théorème [De Moivre - Laplace]

Pour tout \( x\in\mathbb{R} \), \( \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} P\left( \frac{\sqrt{n}}{\sigma} \big(\overline{X_n} - \mu\big) \leq x\right) \) \( \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\small-\infty}^x {e^{-t^2 / 2}dt} \)

La loi de \( X_n \) peut être approchée par une loi normale \( {\cal N}(np, np(1-p)) \) si \( n \) est suffisamment grand et si \( p \) n'est pas trop proche de 0 ou \( 1 \).

Une v.a.r. suivant une loi binomiale étant la somme de v.a.r. suivant chacune la même loi de Bernoulli, nous pouvons appliquer le théorème central de la limite.

Posons :

\( \overline{X_n} = \dfrac{X_n - n p}{\sqrt{n} \sqrt{p(1-p)} } \)

Nous obtenons alors :

En pratique, il faut s'assurer que :

\( n > 30 \)      \( np > 5 \)      \( n(1-p)>5 \)