Sur le vol Paris-Rome, assuré par un avion de \( 160 \) places, la probabilité qu'un voyageur confirme son voyage est \( p = 0.8 \).

Pour s'assurer que l'avion est plein et rentable, la compagnie vend \( n > 160 \) places.

Ne voulant pas qu'il y ait trop de voyageurs en surnombre à indemniser, la compagnie ne peut pas se permettre de dépasser \( 5 \)% de mécontents.

Combien de places peut-on raisonnablement vendre ?

Préalable : modélisation

Nous assimilons chaque voyageur à une variable suivant une loi de Bernoulli \( {\cal B}(0.8) \). On suppose que leur comportement est indépendant : le remplissage \( X_n \) de l'avion, constitué de la somme de \( n \) voyageurs, suit une loi binomiale \( {\cal B}(n, 0.8) \). Ainsi :

\( \displaystyle E(X_n) = n\times 0.8 = 0.8n \)

\( \displaystyle V(X_n) = n\times 0.8\times(1-0.8) = 0.16n \)

\( \displaystyle \sigma = \sqrt{V(X_n)} = 0.4\sqrt{n} \)

En première approche, le problème semble simple : nous connaissons l'espérance de \( X \), il faut donc résoudre \( E(X) = 160 \). C'est à dire

\( \displaystyle n = 160/0.8 = 200 \)

Ainsi, en moyenne, l'avion sera complet. Mais on oublie alors totalement de prendre en compte les mécontents ! IL faut donc maintenir un équilibre entre avion plutôt rempli et voyageur plutôt content.

Le problème consiste donc à estimer \( n \) pour obtenir :

\( \displaystyle P(X_n > 160) < 0.05 \)

S'agissant d'une loi binomiale, la résolution d'une inéquation pose soucis.
Nous allons donc envisager trois approches pour obtenir une valeur approchée de la solution - chacune d'entre elles affinant un peu la valeur de \( n \).

Approche n^o1. L'inégalité de Markov

Dans le cas présent l'inégalité de Markov donne :

\( \displaystyle P(X_n > 160) \leqslant \dfrac{E(X_n)}{160} \)

Ainsi, pour obtenir \( P(X_n > 160) < 0.05 \), il suffit d'avoir \( \dfrac{0.8n}{160} < 0.05 \).
Il en résulte que :

\( \displaystyle n < \underbrace{\dfrac{160}{0.8}\times 0.5}_{= 100} \)

L'inégalité de Markov est bien trop imprécise !
Nous savons déjà que \( n \leq 160 \) pour ne pas payer d'indemnité.

Approche n^o2. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Commençons par remarquer que :

\( \displaystyle P( X_n > 160) = P\Big( X_n - E(X_n) > 160 - E(X_n)\Big) \)

En supposant, ce qui semble cohérent, que \( E(X_n) < 160 \), l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :

\( \displaystyle P\Big( X_n - E(X_n) > 160 - E(X_n)\Big) \leqslant \frac{ V(X_n) }{ (160 - E(X_n))^2 } \)

Ainsi, il en résulte que :

\( \displaystyle P( X_n > 160) \leqslant \frac{ 0.16n }{ (160 - 0.8n)^2 } \)

Ainsi, pour obtenir \( P(X_n > 160) < 0.05 \), il suffit d'avoir \( \dfrac{0.16n}{(160 - 0.8n)^2} < 0.05 \).
Il en résulte que :

Il s'agit d'une petite inéquation du second degré, donnant : \( n \leqslant 170 \).

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est bien plus intéressante, mais peut-on faire encore monté le nombre de passagers ?

Approche n^o3. Le théorème de De Moivre-Laplace

Clairement, nous allons privilégier cette dernière.
Commençons par remarquer que :

\( \displaystyle P( X_n > 160) = P\Big( {\small \dfrac{X_n - 0.8n}{0.4\sqrt{n}} > \dfrac{160 - 0.8n}{0.4\sqrt{n}} } \Big) \)

Le problème devient alors :

\( \displaystyle P\Big( {\small \dfrac{X_n - 0.8n}{0.4\sqrt{n}} > \dfrac{160 - 0.8n}{0.4\sqrt{n}}} \Big) < 0.05 \)

\( \displaystyle P\Big( {\small \dfrac{X_n - 0.8n}{0.4\sqrt{n}} > \dfrac{400 - 2n}{\sqrt{n}}} \Big) < 0.05 \)

C'est à dire :

\( 1-P\Big( {\small \dfrac{X_n - 0.8n}{0.4\sqrt{n}} \leqslant \dfrac{400 - 2n}{\sqrt{n}}} \Big) < 0.05 \)

Appliquons le théorème de De Moivre-Laplace pour \( x = \frac{400 - 2n}{\sqrt{n}} \) :

\( \displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\small-\infty}^x {e^{-t^2 / 2}dt} < 0.05 \)

Il en résulte que :

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\small-\infty}^x {e^{-t^2 / 2}dt} > 0.95 \)

À l'aide d'une table de la loi normale centrée réduite, nous trouvons :

\( \dfrac{400 -2n}{\sqrt{n}} > 1.65 \)

C'est à dire :

\( 400 -2n - 1.65\sqrt{n} > 0 \)

Il s'agit d'une petite inéquation de second degré, donnant \( n \leq 189 \).

La compagnie ne doit pas vendre plus de \( 189 \) billets !