Sur le vol Paris-Rome, assuré par un avion de \( 160 \) places, la probabilité qu'un voyageur confirme son voyage est \( p = 0.8 \).

Pour s'assurer que l'avion est plein et rentable, la compagnie vend \( n > 160 \) places.

Ne voulant pas qu'il y ait trop de voyageurs en surnombre à indemniser, la compagnie ne peut pas se permettre de dépasser \( 5 \)% de mécontents !

Combien de places peut-on raisonnablement vendre ?

La situation se modèlise par une v.a.r \( X \) de loi binomiale \( {\cal B}(n, 0.8) \). Ainsi,

\( E(X) = n\times 0.8 = 0.8n \)

\( V(X) = n\times 0.8\times(1-0.8) \)

\( V(X) = 0.16n \)

\( \sigma = \sqrt{V(X)} = 0.4\sqrt{n} \)

Le problème consiste donc à estimer \( n \) pour obtenir :

\( P(X > 160) < 0.05 \)

Nous pouvons envisager trois approches, chacune d'entre elles affinant un peu la valeur de \( n \).

1. L'inégalité de Markov

Dans le cas présent,

\( P(X > 160) \leq \dfrac{E(X)}{160} \)

Ainsi, pour obtenir \( \small P(X > 160) < 0.05 \),
il suffit d'avoir :

\( \dfrac{0.8n}{160} < 0.05 \)

Il en résulte que :

\( n < \dfrac{160\times 0.5}{0.8} = 100 \)

L'inégalité de Markov est bien trop imprécise !
Nous savons déjà que \( n \leq 160 \) pour ne pas payer d'indemnité.

2. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Commençons par remarquer que :

\( P( X > 160) \)

\( = P( X - E(X) > 160 - E(X)) \)

En supposant, ce qui semble cohérent, que \( E(X) < 160 \),

\( P( X > 160) \leq \dfrac{V(X)}{(160 - 0.8n)^2} \)

Ainsi, pour obtenir \( \small P(X > 160) < 0.05 \),
il suffit d'avoir :

\( \dfrac{0.16n}{(160 - 0.8n)^2} < 0.05 \)

Ce qui conduit à :

Il s'agit d'une petite inéquation du second degré, donnant :

\( n \leq 170 \)

Cette estimation est intéressante, mais peut-on faire encore mieux ?

3. Théorème de De Moivre-Laplace

Posons :

\( Z = \dfrac{X - E(X)}{\sigma} \)

\( Z = \dfrac{X - 0.8n}{0.4\sqrt{n}} \)

Le problème devient alors :

\( P\left( {\small Z > \dfrac{160 - 0.8n}{0.4\sqrt{n}}} \right) < 0.05 \)

C'est à dire :

\( P\left( {\small Z > \dfrac{400 - 2n}{\sqrt{n}}} \right) < 0.05 \)

D'après le théorème de De Moivre-Laplace, la loi de \( Z \) est proche de \( {\cal N}(0, 1) \).

À l'aide d'une table de la loi normale centrée réduite, nous trouvons :

\( \dfrac{400 -2n}{\sqrt{n}} > 1.65 \)

\( 400 -2n - 1.65\sqrt{n} > 0 \)

Il s'agit d'une petite inéquation de second degré, donnant :

\( n \leq 189 \)

La compagnie ne doit pas vendre plus de \( 189 \) billets !