Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une VAR discrète définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

Notons \( X (\Omega) = \left\{x_i : i\in\mathbb{N}\right\} \).

Rappelons l'espérance de \( X \) :

\( \displaystyle E(X) = \sum_{i = 0}^{+\infty} x_i P(X = x_i) \)

Quelles sont les méthodes pour étudier et déterminer l'espérance de \( X \) ?

1. Connaître les lois usuelles

Autrement dit, apprendre ses leçons… c'est parfois un peu rebutant, mais ça aide bien !

2. Revenir à la définition

On se ramène ainsi à l'étude d'une somme finie ou d'une série.
Attention ! Il ne faut pas oublier de justifier la convergence de la série.

3. Utiliser le théorème de transfert

Ce théorème fondamental permet de ne pas utiliser la loi de \( X \), mais plutôt de calculer directement l'espérance.

4. Utiliser la linéarité

Cette propriété permet, comme le théorème de transfert, de déterminer une espérance sans avoir besoin d'utiliser sa loi.

5. Utiliser la fonction génératrice

Rappel !
Si \( X \) possède une fonction génératrice, notée \( G_X \), dérivable à gauche en \( x = 1 \), alors \( E(X) \) existe et :

\( E(X) = G_X'(1^{-}) \)