Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle discrète définie sur un espace probabilisé \( (\Omega; {\cal A}; P) \).

1. Espérance

1. Définition - On dit que \( X \) admet une espérance si \( \big(P(X = x)x\big)_{x\in X(\Omega)} \) est une famille sommable.
Dans ce cas, on note \( E(X) \) sa limite. Autrement dit :

\( \displaystyle E(X) = \sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,x \)

Notons que - par définition - \( E(X) \) existe si et seulement si \( E(|X|) \) existe !
Dans ce cas : \( |E(X)| \leqslant E(|X|) \).

Supposons dorénavant que \( X \) admet une espérance.

2. Propriété - Pour tout \( a\in{\mathbb R} \) et \( b\in{\mathbb R} \), \( aX+b \) admet une espérance et :

\( \displaystyle E(aX +b) = aE(X) + b \)

Démonstration : pour tout \( a\in{\mathbb R} \), \( b\in{\mathbb R} \) et \( x\in X(\Omega) \),

\( \displaystyle P(aX +b = ax+b)(ax+b) = P(X = x)(ax+b) = a\,P(X = x)x + b\,P(X = x) \)

Les familles \( \left(P(X = x)x\right)_{x\in X(\Omega)} \) et \( \left(P(X = x)\right)_{x\in X(\Omega)} \) étant sommables, il en va de même pour toute combinaison linéaire - par linéarité de la sommation.

\( \displaystyle E(aX +b) = a \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)}P(X = x)x}_{E(X)} + b \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)}P(X = x)}_1 \)

■

3. Corollaire - La variable \( Y = X - E(X) \) est centrée.

Démonstration : au vu de ce qui précède, en posant \( a = 1 \) et \( b = E(X) \), \( Y \) admet une espérance et :

\( \displaystyle E(Y) = E(X - E(X)) = E(X) - E(X) = 0 \)

■

Il reste finalement à apprivoiser une inégalité fondamentale en probabilité :

4. Théorème [Inégalité de Markov] - Pour tout \( \lambda > 0 \) : \( P\left(|X| \geqslant \lambda\right) \leqslant \dfrac{E(|X|)}{\lambda} \)

Démonstration : fixons \( \lambda > 0 \) et utilisons le théorème de sommation par partie.

\( \displaystyle E(|X|) = \underbrace{\sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x<\lambda} P(|X| = x)\,x}_{\geqslant 0} + \sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x\geqslant\lambda} P(|X| = x)\,x \)

\( \displaystyle E(|X|) \geqslant \sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x\geqslant\lambda} P(|X| = x)\,x \)

\( \displaystyle E(|X|) \geqslant \sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x\geqslant\lambda} P(|X| = x)\,\lambda \)

\( \displaystyle E(|X|) \geqslant \lambda \sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x\geqslant\lambda} P(|X| = x) \)

\( \displaystyle E(|X|) \geqslant \lambda\,P(|X| \geqslant\lambda) \)

■

Finalement, notons par \( L^1(\Omega, {\cal A}, P) \) l'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes admettant une espérance.

2. Autour du théorème de transfert

Considérons une application \( \Phi : X(\Omega) \longrightarrow {\mathbb R} \).
Alors \( \Phi(X) \) est aussi une variable aléatoire réelle discrète.

Théorème [de transfert]
\( \Phi(X)\in L^1(\Omega, {\cal A}, P) \) si et seulement si \( \Big(P(X = x)\,\Phi(x)\Big)_{x\in X(\Omega)} \) est une famille sommable. Dans ce cas :

\( \displaystyle E(\Phi(X)) = \sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,\Phi(x) \)

Démonstration : définissons pour tout \( y\in |\Phi(X)|(\Omega) \) :

\( \displaystyle I_y = \{x\in X(\Omega) | y = |\Phi(x)|\} \)

Alors \( X(\Omega) = \bigcup\limits_{y\in Y(\Omega)} I_y \) et :

\( \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,|\Phi(x)| = \sum_{y\in |\Phi(X)|(\Omega)} \sum_{x\in I_y} P(X = x)\,|\Phi(x)| \)

\( \displaystyle \phantom{\sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,|\Phi(x)|} = \sum_{y\in |\Phi(X)|(\Omega)} y \sum_{x\in I_y} P(X = x) \)

\( \displaystyle \phantom{\sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,|\Phi(x)|} = \sum_{y\in |\Phi(X)|(\Omega)} y P(X \in I_y) \)

\( \displaystyle \phantom{\sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,|\Phi(x)|} = \sum_{y\in |\Phi(X)|(\Omega)} y P(Y = y) \)

Ainsi, d'après le théorème de sommation par paquets, \( \Phi(X)\in L^1 \) si et seulement si la famille \( \Big(P(X = x)\,\Phi(x)\Big)_{x\in X(\Omega)} \) est sommable.

■

Le théorème de transfert est l'un des résultats fondamentaux en probabilité.
Il permet de calculer les espérances en évitant la détermination fastidieuse et souvent très complexe de la loi de \( \Phi(X) \) !

3. Espace \( L^p \)

Fixons \( n\in{\mathbb N}^* \).

En pratique, s'ils existent, on utilise le théorème de transfert pour les calculer.

2. Définition : on note par \( L^n(\Omega, P) \) l'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d'ordre \( n \).

3. Propriété : pour tout \( m\in{\mathbb N} \) : \( m \geqslant n \Rightarrow L^m(\Omega, P) \subset L^n(\Omega, P) \).

Démonstration : supposons que \( X\in L^m(\Omega, P) \).

Intéressons à \( \Big(P(|X| = x)\,x^n\Big)_{x\in |X|(\Omega)} \) : nous pouvons scinder l'ensemble des indices sous la forme :

\( \displaystyle \{x\in |X|(\Omega)\} = \{x\in |X|(\Omega) ~|~ x \leqslant 1\} \cup \{x\in |X|(\Omega) ~|~ x > 1\} \)

Appliquons le théorème de sommation par paquets :

\( \displaystyle \sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x \leqslant 1} P(|X| = x)\ x^n \leqslant \sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x \leqslant 1} P(|X| = x) \leqslant 1 \)

\( \displaystyle \sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x > 1} P(|X| = x)\ x^n \leqslant \sum_{x\in |X|(\Omega) ~|~ x > 1} P(|X| = x)\ x^m \leqslant E(|X|^m) \)

Finalement, \( E(|X|^n) \) existe et nous obtenons que :

\( \displaystyle |E(X^n)| \leqslant E(|X|^n) \leqslant 1 + E(|X|^m) \)

■