Espérance d'une variable aléatoire discrète

Dans tout ce qui suit, $ X $ désigne une variable aléatoire réelle discrète définie sur un espace probabilisé $ (\Omega, {\cal M}, P) $.

Autrement dit, $ X(\Omega) $ est dénombrable.

1. Espérance

1. Définition : on dit que $ X $ admet une espérance si la famille $ \Big(P(X = x)\,x\Big)_{x\in X(\Omega)} $ est sommable. Dans ce cas, on note $ E(X) $ sa limite.

$ \displaystyle E(X) = \sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,x $

Quelques remarques préalables :

Si $ X \geqslant 0 $, alors $ E(X) \geqslant 0 $ : on dit que $ E $ est positive.
Par définition de la sommabilité, $ X $ est sommable si et seulement si $ |X| $ est sommable.
L'inégalité triangulaire des familles sommables donne $ |E(X)| \leqslant E(|X|) $.

2. Vocabulaire : on dit que $ X $ est centrée si $ E(X) = 0 $.

Remarquons qu'une variable aléatoire réelle discrète positive non nulle n'est jamais centrée !

3. Propriété : pour tout $ a\in{\mathbb R} $ et $ b\in{\mathbb R} $,

$ E(aX +b) = aE(X) + b $

Preuve

$ \displaystyle E(aX +b) = \sum_{x\in X(\Omega)} P(aX +b = ax+b)\,(ax+b) $

$ \displaystyle \phantom{E(aX +b)} = \sum_{x\in X(\Omega)} a\,P(X = x)x + b\,P(X = x) $

Nous pouvons scinder cette somme car chaque famille est sommable. Alors,

$ \displaystyle E(aX +b) = a \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)}P(X = x)x}_{E(X)} + b \underbrace{\sum_{x\in X(\Omega)}P(X = x)}_1 $

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Notons $ L^1 $ ou $ L^1(\Omega, {\cal M}, P) $ l'ensemble des variables aléatoires réelles discrètes admettant une espérance.

4. Propriétés :

$ L^1 $ est un espace vectoriel.
L'espérance est une application linéaire positive sur $ L^1 $.

Ces propriétés structurelles sont provisoirement admises : elles seront démontrées au prochain chapitre.

2. Théorème de transfert

Considérons une application $ \Phi : X(\Omega) \longrightarrow {\mathbb R} $. Alors $ \Phi(X) $ est une variable aléatoire réelle discrète.

1. Théorème [de transfert]
$ \Phi(X)\in L^1 $ si et seulement si la famille $ \Big(P(X = x)\,\Phi(x)\Big)_{x\in X(\Omega)} $ est sommable. Dans ce cas :

$ \displaystyle E(\Phi(X)) = \sum_{y\in \Phi(X)(\Omega)} P(\Phi(X) = y)\,y = \sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,\Phi(x) $

Preuve

Posons $ Y = |\Phi(X)| $. Pour tout $ y\in Y(\Omega) $, définissons :

$ \displaystyle I_y = \{x\in X(\Omega) | |\Phi(x)| = y\} $

Alors $ X = \Cup I_y $ et

$ \displaystyle \sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,|\Phi(x)| = \sum_{y\in Y(\Omega)} \sum_{x\in I_y} P(X = x)\,|\Phi(x)| $

$ \displaystyle \phantom{\sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,|\Phi(x)|} = \sum_{y\in Y(\Omega)} y \sum_{x\in I_y} P(X = x) $

$ \displaystyle \phantom{\sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,|\Phi(x)|} = \sum_{y\in Y(\Omega)} y P(X \in I_y) $

$ \displaystyle \phantom{\sum_{x\in X(\Omega)} P(X = x)\,|\Phi(x)|} = \sum_{y\in Y(\Omega)} y P(Y = y) $

Ainsi, d'après le théorème de sommation par paquets, $\Phi(X)\in L^1$ si et seulement si la famille $\Big(P(X = x)\,\Phi(x)\Big)_{x\in X(\Omega)}$ est sommable.

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2. Cas particulier : sous réserve d'existence,

on appelle moment d'ordre $ p $ : $ m_p(X) = E(X^p) $.
on appelle moment centré d'ordre : $ \overline{m_p}(X) = E((X - E(X))^p) $

En pratique, s'ils existent, on utilise le théorème de transfert pour les calculer !