Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi de Bernoulli de paramètre \( p \in [0; 1] \) si :

\( P(X = x) = \begin{cases} p & \text{si}~x = 1\\ 1-p & \text{si}~x = 0\\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \)

On note \( X \sim {\cal B}(p) \).

Situation modélisée

Cette loi modélise une épreuve n'admettant que deux issues possibles : la réussite (\( x=1 \)) et l'échec (\( x=0 \)).

Espérance
\( E(X) = p \)

Variance
\( V(X) = p\times(1-p) \)

2. Fonction génératrice

Revenons à la définition :

\( G(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^1 t^k P(X=k) \)

Appliquons cela dans le cas d'une loi de Bernouilli,

\( G(t) = t^0\times(1-p) + t^1\times p \)

Finalement :

\( G(t) = 1 - p + t\times p \)

Application

Déterminer \( G'(1) \) et \( G''(1) \) :

\( G'(t) = p \)

\( G'(1) = p \)

\( G''(t) = 0 \)

\( G''(1) = 0 \)

Déterminons l'espérance :

\( E(X) = G'(1) = p \)

Déterminons la variance :

\( V(X) = G''(1) + G'(1) − G'(1)^2 \)

\( V(X) = 0 + p - p^2 \)

\( V(X) = p(1-p) \)