Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle discrète définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, {\cal M}, P) \).

1. À retenir !

Définition - On dit que \( X \) suit la loi de Bernoulli de paramètre \( p \in [0; 1] \) si :

\( \displaystyle P(X = k) = \left\{\begin{array}{ll}p&\text{si}~k = 1\\1-p&\text{si}~k = 0\\0&\text{sinon}\end{array}\right. \)

On note \( X \sim {\cal B}(p) \).

Illustrons la simplicité de cette définition :

2. Situation modélisée

Cette loi modélise une épreuve n'admettant que deux issues possibles : soit la réussite (\( k=1 \)) avec une probabilité de \( p \), soit l'échec (\( k=0 \)) avec une probabilité de \( 1-p \).

3. Fonction génératrice

Revenons à la définition. Définissons pour tout \( t\in[-1; 1] \) :

\( \displaystyle G(t) = \sum_{k=0}^1 P(X=k) t^k = (1-p)\,t^0 + p\,t^1 = 1 - p + p\,t \)

Il ne s'agit pas vraiment d'une série mais simplement d'un polynôme du premier degré. Ainsi, il n'y a aucun problème de définition et de régularité !

Autrement dit, \( G\in{\cal C}^{\infty}({\mathbb R};{\mathbb R}) \).

Calcul de \( G'(1) \) et \( G''(1) \)

\( G'(t) = p \), donc \( G'(1) = p \).

\( G''(t) = 0 \), donc \( G''(1) = 0 \).

Déterminons l'espérance

\( \displaystyle E(X) = G'(1) = p \)

Déterminons la variance

\( \displaystyle V(X) = G''(1) + G'(1) − G'(1)^2 = 0 + p - p^2 = p(1-p) \)