Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle discrète définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, {\cal M}, P) \).

1. À retenir !

Définition - On dit que \( X \) suit la loi binomiale de paramètres \( n\in \mathbb{N}^* \) et \( p \in [0; 1] \) si pour tout \( k\in\left[\!\left[0, n\right]\!\right] \) :

\( \displaystyle P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)} \)

On note \( X \sim {\cal B}(n, p) \).

Illustration :

2. Situation modélisée

Considérons une épreuve n'admettant que deux issues possibles : la réussite (de probabilité \( p \)) et l'échec (de probabilité \( 1-p \)). La loi binomiale modélise le nombre exacte de réussites (\( k \)) à cette épreuve répétée \( n \) fois.

Autrement dit, \( X \) correspond à la somme de \( n \) v.a.r. indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli.

3. Fonction génératrice

Revenons à la définition. Définissons pour tout \( t\in[-1; 1] \) :

\( \displaystyle G(t) = \sum_{k=0}^n P(X=k) t^k \)

\( \displaystyle \phantom{G(t)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)} t^k \)

\( \displaystyle \phantom{G(t)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (p\,t)^k (1-p)^{(n-k)} = (p\,t + 1-p)^n \)

Il ne s'agit donc pas vraiment d'une série mais simplement d'un polynôme de degré \( n \). Ainsi, il n'y a aucun problème de définition et de régularité !

Autrement dit, \( G\in{\cal C}^{\infty}({\mathbb R};{\mathbb R}) \).

Calcul de \( G'(1) \) et \( G''(1) \)

\( G'(t) = n(p\,t + 1-p)^{n-1}\times p \), donc \( G'(1) = np \).

\( G''(t) = \) \( n(n-1)(p\,t + 1-p)^{n-2}\times p^2 \), donc \( G''(1) = n(n-1)p^2 \).

Déterminons l'espérance

\( \displaystyle E(X) = G'(1) = np \)

Déterminons la variance

\( \displaystyle V(X) = G''(1) + G'(1) − G'(1)^2 = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = np(1-p) \)