Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi binomiale de paramètres \( n\in \mathbb{N}^* \) et \( p \in [0; 1] \) si pour tout \( k\in\left[\!\left[0, n\right]\!\right] \) :

\( P(X = k) = \displaystyle\binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)} \)

On note \( X \sim {\cal B}(n, p) \).

Situation modélisée

Considérons une épreuve n'admettant que deux issues possibles : la réussite et l'échec.

La loi binomiale modélise le nombre exacte de réussites (\( k \)) à cette épreuve répétée \( n \) fois.

Autrement dit, \( X \) correspond à la somme de \( n \) v.a.r. suivant chacune une loi de Bernouilli.

Espérance
\( E(X) = np \)

Variance
\( V(X) = np\times(1-p) \)

2. Fonction génératrice

Revenons à la définition :

\( G(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^n t^k P(X=k) \)

Appliquons cela dans le cas d'une loi binomiale,

\( G(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^n t^k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)} \)

Horreur !

Plus simplement, par construction, \( X \) correspond à la somme de \( n \) v.a.r. \( X_i \) suivant une loi de Bernouilli. Donc :

\( G(t) = \displaystyle\prod_{i=1}^n G_{X_i}(t) \)

\( G(t) = \displaystyle\prod_{i=1}^n (1-p + p\times t) \)

Finalement :

\( G(t) = (1-p + p\times t)^n \)

Application

Commençons par déterminer \( G'(1) \) et \( G''(1) \) :

\( G'(t) = n(1-p + p\times t)^{n-1}\times p \)

\( G'(1) = np \)

\( G''(t) = \) \( n(n-1)(1-p + p\times t)^{n-2}\times p^2 \)

\( G''(1) = n(n-1)p^2 \)

Déterminons l'espérance :

\( E(X) = G'(1) = np \)

Déterminons la variance :

\( V(X) = G''(1) + G'(1) − G'(1)^2 \)

\( V(X) = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 \)

\( V(X) = np\bigl((n-1)p + 1 - np\bigr) \)

\( V(X) = np(1-p) \)