Dans tout ce qui suit, \( (X_n) \) désigne une suite de variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

On suppose que chaque \( X_n \) suit une loi binomiale \( {\cal B}(n, p_n) \).

Pour \( n \) assez grand, il est posssible de trouver d'autres lois, proche de \( {\cal B}(n, p_n) \), mais bien plus simple à calculer.

1. Une loi normale

Supposons ici que \( (p_n) \) est constante, notée simplement \( p \).

La loi de \( X_n \) peut être approchée par une loi normale \( {\cal N}(np, np(1-p)) \) si \( n \) est suffisamment grand et si \( p \) n'est pas trop proche de 0 ou \( 1 \).

Une v.a.r. suivant une loi binomiale étant la somme de v.a.r. suivant chacune la même loi de Bernoulli, nous pouvons appliquer le théorème central de la limite.

Posons :

\( Z_n = \dfrac{X_n - n p}{\sqrt{n} \sqrt{p(1-p)} } \)

Nous obtenons alors :

Théorème [De Moivre - Laplace]
La suite \( (Z_n) \) converge en loi vers \( {\cal N}(0, 1) \).
Autrement dit, pour tout \( t\in\mathbb{R} \),

\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} P\left(Z_n \leq t\right) = \int_{\small-\infty}^t {\dfrac{e^{-x^2 / 2} }{2\pi}dx} \)

En pratique, il faut s'assurer que :

\( n > 30 \)      \( np > 5 \)      \( n(1-p)>5 \)

2. Une loi de Poisson

La loi de \( X_n \) peut être approchée par une loi de Poisson \( {\cal P}(np) \) si \( n \) est suffisamment grand et \( p \) suffisamment petit. Ainsi :

Théorème
Si \( (np_n) \) converge vers \( \lambda > 0 \), alors \( (X_n) \) converge en loi vers \( {\cal P}(\lambda) \).
Autrement dit, pour tout \( k\in\mathbb{N} \),

\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty} P(X_n = k) = e^{-\lambda}\times\dfrac{\lambda^k}{k!} \)

En pratique, il faut s'assurer que :

\( n > 30 \)      \( p_n < 0.1 \)      \( np_n < 15 \)