Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle discrète définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, {\cal M}, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi de Poisson de paramètre réel \( \lambda > 0 \) si pour tout \( k\in\mathbb{N} \) :

\( P(X = k) = e^{-\lambda}\times\dfrac{\lambda^k}{k!} \)

On note \( X \sim {\cal P}(\lambda) \).

Espérance : \( E(X) = \lambda \)

Variance : \( V(X) = \lambda \)

2. Situation modélisée

Cette loi modélise des phénomènes rares, i.e. de probabilité faible.

Elle sert notamment comme approximation de la loi binomiale, quand \( n \) devient très grand et \( p \) très petit.

On pose alors \( \lambda = np \), ce qui permet de conserver la même espérance.

3. Fonction génératrice

Revenons à la définition :

\( \displaystyle G(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} t^k P(X=k) \)

Appliquons cela dans le cas d'une loi de Poisson :

\( \displaystyle G(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} t^k e^{-\lambda}\times\dfrac{\lambda^k}{k!} \)\( \displaystyle = e^{-\lambda}\times\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(t\lambda)^k}{k!} \)\( \displaystyle = e^{-\lambda}\times e^{t\lambda} \)\( \displaystyle = e^{\lambda (t-1)} \)

Finalement, \( G\in{\cal C}({\mathbb R};{\mathbb R}) \) et :

\( \displaystyle G(t) = e^{\lambda (t-1)} \)

\( \displaystyle G'(t) = \lambda e^{\lambda (t-1)} \)

\( \displaystyle G''(t) = \lambda^2 e^{\lambda (t-1)} \)

4. Espérance et variance

Calcul de \( G'(1) \) et \( G''(1) \)

\( \displaystyle G'(1) = \lambda \)

\( \displaystyle G''(1) = \lambda^2 \)

Déterminons l'espérance

\( \displaystyle E(X) = G'(1) = \lambda \)

Déterminons la variance

\( \displaystyle V(X) = G''(1) + G'(1) − G'(1)^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda \)

5. Loi de la somme

Considérons deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes :

\( X \sim {\cal P}(\lambda) \) et \( Y \sim {\cal P}(\mu) \)

où \( \lambda > 0 \) et \( \mu> 0 \).

Propriété : \( X +Y \sim {\cal P}(\lambda + \mu) \)

Démonstration : rappelons que la loi de \( X+Y \) est caractérisée par sa fonction génératrice. Pour tout \( t\in]-1; 1[ \) :

\( \displaystyle G_{X+ Y}(t) = G_X(t) \times G_Y(t) = e^{\lambda (t-1)}\times e^{\mu (t-1)} = e^{(\lambda +\mu)(t-1)} \)

Il s'agit de la fonction génératrice de la loi \( {\cal P}(\lambda + \mu) \).

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Ce résultat s'avère utile en combinaison du théorème central de la limite !