La loi de Poisson

Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi de Poisson de paramètre réel \( \lambda > 0 \) si pour tout \( k\in\mathbb{N} \) :

\( P(X = k) = e^{-\lambda}\times\dfrac{\lambda^k}{k!} \)

On note \( X \sim {\cal P}(\lambda) \).

Situation modélisée

Cette loi modélise des phénomènes rares, i.e. de probabilité faible.

Elle sert notamment comme approximation de la loi binomiale, quand \( n \) devient très grand et \( p \) très petit.

On pose alors \( \lambda = np \), ce qui permet de conserver la même espérance.

Espérance
\( E(X) = \lambda \)

Variance
\( V(X) = \lambda \)

Revenons à la définition :

\( G(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} t^k P(X=k) \)

Appliquons cela dans le cas d'une loi de Poisson,

\( G(t) = \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} t^k e^{-\lambda}\times\dfrac{\lambda^k}{k!} \)

\( G(t) = e^{-\lambda}\times\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(t\lambda)^k}{k!} \)

\( G(t) = e^{-\lambda}\times e^{t\lambda} \)

\( G(t) = e^{-\lambda + t\lambda} \)

Déterminons \( G'(1) \) et \( G''(1) \) :

\( G'(t) = \lambda e^{-\lambda + t\lambda} \)

\( G'(1) = \lambda \)

\( G''(t) = \lambda^2 e^{-\lambda + t\lambda} \)

\( G''(1) = \lambda^2 \)

Déterminons l'espérance :

\( E(X) = G'(1) = \lambda \)

Déterminons la variance :

\( V(X) = G''(1) + G'(1) − G'(1)^2 \)

\( V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \)

\( V(X) = \lambda \)