Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle discrète définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, {\cal M}, P) \).

1. À retenir !

Définition - On dit que \( X \) suit la loi géométrique de paramètre \( p\in[0; 1] \) si pour tout \( k\in\mathbb{N}^* \),

\( \displaystyle P(X = k) = (1-p)^{k-1} \times p \)

On note \( X \sim {\cal G}(p) \).

Illustration :

2. Situation modélisée

Considérons une épreuve admettant deux issues : une réussite (de probabilité \( p \)) et un échec.

La loi géométrique modélise le nombre \( k \) de tentatives pour réussir l'épreuve - autrement dit une succession de \( k-1 \) échecs, suivie d'une réussite.

3. Fonction génératrice

Revenons à la définition. Définissons pour tout \( t\in[-1; 1] \) :

\( \displaystyle G(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X=k) t^k = \sum_{k=1}^{+\infty} (1-p)^{k-1} \,p \, t^k = p\,t\,\sum_{k=1}^{+\infty} \big[(1-p)\,t\big]^{k-1} \)

On reconnait une série géométrique de raison \( (1-p)\,t \).
Elle converge si et seulement si \( \lvert (1-p)\,t\rvert \lt 1 \), c'est à dire :

\( \displaystyle t\in \left]-\dfrac{1}{1-p}; \dfrac{1}{1-p}\right[ \)

Notons que \( t=1 \) appartient au disque de convergence. Finalement :

\( \displaystyle G(t) = p\,t\,\dfrac{1}{1 - (1-p)\,t} = \dfrac{p\,t}{1 - t + p\,t} \)

Calcul de \( G'(1) \) et \( G''(1) \)

\( G'(t) = \small\dfrac{p(1 - t + p\,t) - p\,t(-1 +p)}{(1 - t + p\,t)^2} = \small\dfrac{p}{(1 - t + p\,t)^2} \), donc \( G'(1) = \small\dfrac{1}{p} \).

\( G''(t) = \small\dfrac{-2p(-1+p)}{(1 - t + p\,t)^3} = \small\dfrac{p(2-2p)}{(1 - t + p\,t)^3} \), donc \( G''(1) = \small\dfrac{p(2-2p)}{p^3} = \small\dfrac{2-2p}{p^2} \).

Déterminons l'espérance

\( \displaystyle E(X) = G'(1) = \dfrac{1}{p} \)

Déterminons la variance

\( \displaystyle V(X) = G''(1) + G'(1) − G'(1)^2 = \dfrac{2-2p}{p^2} + \dfrac{1}{p}- \dfrac{1}{p^2} = \dfrac{1-p}{p^2} \)