Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle à densité définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi unifome continue sur \( [a,b]\subset\mathbb{R} \) si sa densité est

\( f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a} & \text{si}~x \in [a,b]\\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \)

On note \( X \sim{\cal U}([a; b]) \)

Situation modélisée

Cette loi modélise la probabilité de choisir, dans un intervalle donné, un intervalle particulier.

Espérance
\( E(X) = \dfrac{a+b}{2} \)

Variance
\( V(X) = \dfrac{(a+b)^2}{12} \)

2. Démonstration !

Déterminons l'espérance :

\( E(X) = \displaystyle\int_a^b x \times f(x) dx \)

\( E(X) = \displaystyle\int_a^b x \frac{1}{b-a} dx \)

\( E(X) = \displaystyle\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^2}{2} \right]_a^b \)

\( E(X) = \displaystyle\frac{1}{b-a}\times\frac{b^2 - a^2}{2} \)

\( E(X) = \displaystyle\frac{b + a}{2} \)

Calculons le moment d'ordre 2 :

\( E(X^2) = \displaystyle\int_a^b x^2 \times \frac{1}{b-a} dx \)

\( E(X^2) = \displaystyle\frac{1}{b-a}\left[\frac{x^3}{3} \right]_a^b \)

\( E(X^2) = \displaystyle\frac{1}{b-a}\times\frac{b^3 - a^3}{3} \)

\( E(X^2) = \displaystyle\frac{b^2 + ab + a^2}{3} \)

Déterminons la variance :

\( V(X) = E(X^2)-E(X)^2 \)

\( V(X) = \displaystyle\frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \left(\frac{b + a}{2}\right)^2 \)

\( V(X) = \displaystyle\frac{b^2 + ab + a^2}{3} - \frac{b^2 + 2ab + a^2}{4} \)

\( V(X) = \displaystyle\frac{4b^2 + 4ab + 4a^2 - 3b^2 + 6ab + 3a^2}{12} \)

\( V(X) = \displaystyle\frac{b^2 + 2ab + a^2}{12} \)

\( V(X) = \displaystyle\frac{(b + a)^2}{12} \)