Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle à densité définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi exponentielle de paramêtre \( \lambda > 0 \) si sa densité est

\( f(x) = \begin{cases} \lambda \exp(-\lambda x) & \text{si}~x \geq 0\\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \)

On note \( X \sim{\cal E}(\lambda) \)

Situation modélisée

Cette loi modélise la durée de vie, le temps d'attente avant un événement spécifique.

Espérance
\( E(X) = \dfrac{1}{\lambda} \)

Variance
\( V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2} \)

2. Démonstration !

Déterminons l'espérance :

\( E(X) = \displaystyle\int_0^{+\infty} x \times f(x) dx \)

\( E(X) = \displaystyle\int_0^{+\infty} x \times \lambda \exp(-\lambda x) dx \)

\( E(X) = \displaystyle\left[-x \exp(-\lambda x)\right]_0^{+\infty} \)

\( - \displaystyle\int_0^{+\infty} -\exp(-\lambda x) dx \)

\( E(X) = 0 - 0 + \left[\dfrac{\exp(-\lambda x)}{-\lambda}\right]_0^{+\infty} \)

\( E(X) = 0 - \dfrac{1}{-\lambda} \)

\( E(X) = \dfrac{1}{\lambda} \)

Calculons le moment d'ordre 2 :

\( E(X^2) = \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \times \lambda \exp(-\lambda x) dx \)

\( E(X^2) = \left[-x^2 \exp(-\lambda x)\right]_0^{+\infty} \)

\( - \displaystyle\int_0^{+\infty} -2x \exp(-\lambda x) dx \)

\( E(X^2) = 0 - 0 \)

\( + \dfrac{2}{\lambda} \displaystyle\int_0^{+\infty} x \lambda\exp(-\lambda x) dx \)

Nous avons calculer cette intégrale précédemment :

\( E(X^2) = 2 \dfrac{1}{\lambda^2} \)

Déterminons la variance :

\( V(X) = E(X^2)-E(X)^2 \)

\( V(X) = 2 \dfrac{1}{\lambda^2} - \left(\dfrac{1}{\lambda}\right)^2 \)

\( V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2} \)