Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle à densité \( f \) définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi de Cauchy de paramètres \( \alpha > 0 \) et \( x_0 \in \mathbb{R} \) si sa densité est :

\( f(x) = \dfrac{1}{\pi}\times\dfrac{\alpha}{\alpha^2+(x - x_0)^2} \)

On note \( X \sim{\cal Ca}(x_0, \alpha) \)

Espérance
\( E(X) \) n'est pas définie!

Variance
\( V(X) \) n'est pas définie !

Situation modélisée

Question compliquée ! Sans espérance ni variance, elle est un contre-exemple à l'utilisation des théorèmes usuels (théorème centrale…) et prouve qu'une loi à densité peut être aussi sans moment d'ordre \( k\in\mathbb{N}^* \).

Elle intervient dans des domaines très pointus, où les valeurs extrèmes influences notablement le phénomène étudié.

+ En spectroscopie, elle modélise la forme des raies d’émission et d’absorption
+ En finance, elle modélise le comportement de marchés extrèmes, avec le saut brutal du prix des actions.

2. Démonstration !

Revenons à la définition :

\( E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \times f(x) dx \)

Dans le cas d'une loi de Cauchy,

\( E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \small x \times \dfrac{1}{\pi}\times\dfrac{\alpha}{\alpha^2+(x - x_0)^2} dx \)

Cela, évidemment, sous réserve d'existence. Malheureusement,

\( \displaystyle x \times \dfrac{\alpha}{\alpha^2+(x - x_0)^2} \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{\alpha}{x} \)

Cette fonction n'est pas intégrable sur \( ]0; +\infty[ \).

Ce raisonnement vaut pour tous les moments d'ordre \( k>1 \), et donc à fortiori pour la variance.