Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle à densité \( f \) définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi normale de paramètres \( x_0\in\mathbb{R} \) et \( \sigma^2 \), avec \( \sigma >0 \), si sa densité est :

\( f(x) = \dfrac{1}{2\pi\sigma}\times\exp{\left(\dfrac{- (x-m)^2}{2\sigma^2 }\right)} \)

On note \( X \sim{\cal N}(m, \sigma^2) \)

Espérance
\( E(X) = m \)

Variance
\( V(X) = \sigma^2 \)

2. Représentation graphique

3. Situation modélisée

Cette loi sert à modéliser tout type de situation où une épreuve est répétée un très grand nombre de fois. C'est la finalité du théorème de limite centrale.

2. Démonstration !

Revenons à la définition :

\( E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x \times f(x) dx \)

Dans le cas d'une loi normale,

\( E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\small \dfrac{x}{2\pi\sigma}\times e^{\dfrac{- (x-m)^2}{2\sigma^2 }} dx \)

Effectuons le changement de variable :

\( u = \dfrac{x- m}{\sigma} \)

\( x = \sigma u + m \)

\( E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\small \dfrac{\sigma u +m}{2\pi\sigma}\times e^{\dfrac{- u^2}{2 }} dx \)

\( E(X) = \displaystyle\small\dfrac{\sigma}{2\pi}\times\int_{-\infty}^{+\infty}\small u e^{\dfrac{- u^2}{2 }} dx \)

\( + \displaystyle\small\dfrac{m}{2\pi}\times \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\dfrac{- u^2}{2 }} dx \)

\( E(X) = \displaystyle0 + \small\dfrac{m}{2\pi}\times 2\pi \)

\( E(X) = \small m \)

\( E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\small \dfrac{x^2}{2\pi\sigma}\times e^{\dfrac{- (x-m)^2}{2\sigma^2 }} dx \)

Effectuons le changement de variable :

\( u = \dfrac{x- m}{\sigma} \)

\( x = \sigma u + m \)

\( E(X^2) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\small \dfrac{(\sigma u +m)^2}{2\pi}\times e^{\dfrac{- u^2}{2}} du \)

\( E(X^2) = \small \dfrac{\sigma^2}{2\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} u^2 e^{\dfrac{- u^2}{2}} du \)

\( + \small \dfrac{2\sigma m}{2\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}u e^{\dfrac{- u^2}{2}} du \)

\( + \small \dfrac{m^2}{2\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\dfrac{- u^2}{2}} du \)

\( E(X^2) = \small \dfrac{\sigma^2}{2\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} u^2 e^{\dfrac{- u^2}{2}} du + 0 + m^2 \)

Réalisons une intégration par partie :

\( E(X^2) = \small \dfrac{\sigma^2}{2\pi} \displaystyle\left[ \dfrac{u}{-2} e^{\dfrac{- u^2}{2}} \right]_{-\infty}^{+\infty} + m^2 \)

\( - \small \dfrac{\sigma^2}{2\pi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{-2} e^{\dfrac{- u^2}{2}} du \)

\( E(X^2) = \small 0 +m^2 + \dfrac{\sigma^2}{2} \)