Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle à densité \( f \) définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

1. À retenir !

On dit que \( X \) suit la loi Gamma de paramètres \( k>0 \) et \( \theta>0 \) si sa densité est :

\( f(x) = \small\begin{cases} \dfrac{\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{k-1}\exp\left(-\dfrac{x}{\theta}\right)}{\theta\,\Gamma(k)} & \text{si}~x > 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \)

Dans ce cas, \( k \) est le paramètre de forme et \( \theta \) le paramètre d'échelle.

On note \( X \sim\Gamma(k, \theta) \)

Espérance
\( E(X) = k\theta \)

Variance
\( V(X) = k\theta^2 \)

2. Représentation graphique

3. Situation modélisée

Commençons par remarquer que :

\( \Gamma(1, \theta) = {\cal E}(\dfrac{1}{\theta}) \)

Ainsi, la loi \( \Gamma \) sert aussi à modéliser une durée de vie.

Mais contrairement à la loi exponentielle, elle prend en compte le viellissement, l'usure, l'augmentation du taux de panne.

4. Calcul des moments

Revenons à la définition pour \( n\in\mathbb{N}^* \) :

\( E(X^n) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x^n \times f(x) dx \)

Dans le cas de la loi Gamma :

\( E(X^n) = \small\displaystyle\int_{0}^{+\infty}x^n\dfrac{\left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{k-1}\exp\left(-\dfrac{x}{\theta}\right)}{\Gamma(k)\theta} dx \)

\( E(X^n) = \small\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \theta^{n} \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{k-1+n}\exp\left(-\dfrac{x}{\theta}\right)dx}{\Gamma(k)\theta} \)

Effectuons le changement de variable :

\( u = \dfrac{x}{\theta} \)

Nous obtenons alors :

\( E(X^n) = \small\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\theta^{n}u^{k-1+n}\exp\left(-u\right)du}{\Gamma(k)} \)

\( E(X^n) = \small\theta^n\dfrac{\displaystyle\int_{0}^{+\infty} u^{k+n-1}\exp\left(-u\right)du}{\Gamma(k)} \)

\( E(X^n) = \small\theta^n\dfrac{\Gamma(k+n)}{\Gamma(k)} \)

5. Conclusions

Calcul de l'espérance

\( E(X) = E(X^1) \)

\( E(X) = \small\theta^1\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k)} \)

\( E(X) = \small\theta k \)

Calcul de la variance

Utilisons la formule de König-Huygens :

\( V(X) = E(X^2)-(E(X))^2 \)

\( V(X) = \small\theta^2\dfrac{\Gamma(k+2)}{\Gamma(k)} - (\theta k)^2 \)

\( V(X) = \small\theta^2 k(k+1) - (\theta k)^2 \)

\( V(X) = \small\theta^2 k^2+ \theta^2 k - \theta^2 k^2 \)

\( V(X) = \small\theta^2 k \)