Dans tout ce qui suit, \( n \) et \( k \) sont des entiers naturels non nul, et \( p\in[0; 1] \).

Lorsqu'on étudie une succession de \( n \) variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernouilli \( {\cal B}(p) \), leur somme suit une loi binomiale \( {\cal B}(n, p) \) qui ne peut pas être approchée par le théorème central de la limite si \( p \) est trop petit.

Cela pose problème, car la détermination de coefficients binomiaux - et la manipulation des factoriels en général - est souvent délicate pour les logiciels de calcul.

On peut s'en sortir en approximant la loi binomiale par une loi de Poisson bien choisie.
Ce résultat est connu comme la loi des événements rares.

Étude préliminaire

Commençons par rappeler que :

\( \displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n\times(n-1)\times ... \times (n-k+1)}{k!} \)

Nous passons aux équivalences, pour tout \( k\in{\mathbb N} \) :

\( \displaystyle \binom{n}{k} \underset{n\to\infty}{\sim\,} \frac{n^k}{k!} \)

Application

Revenons à la définition de la loi binomiale.

Considérons \( (X_n) \) une suite de variables aléatoires réelles définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, {\cal M}, P) \), telle que chaque \( X_n \) suit une loi binomiale de paramètres \( n \) et \( p_n\in[0; 1] \).

Autrement dit, pour tout \( k\in\mathbb{N} \) :

\( \displaystyle P(X_n = k) = \binom{n}{k}\,\,p_n^k\,\,(1-p_n)^{(n-k)} \)

Nous allons alors montrer que :

Théorème [de la loi des événements rares]
Si \( (n\,\,p_n) \) converge vers \( \lambda > 0 \), alors \( (X_n) \) converge en loi vers \( {\cal P}(\lambda) \).

Autrement dit, pour tout \( k\in\mathbb{N} \) :

\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty} P(X_n = k) = e^{-\lambda}\times\dfrac{\lambda^k}{k!} \)

Notons au préalable que, de manière évidente, \( (p_n) \) converge vers 0.
Elle compense en quelque sorte la convergence à l'infinie de \( n \).

Démonstration : nous passons aux équivalences dans l'expression de la loi binomiale :

\( \displaystyle P(X = k) \underset{n\to\infty}{\sim\,} \frac{n^k}{k!}\,\,p_n^k\,\,(1-p_n)^{(n-k)} \)

\( \displaystyle ~~ \underset{n\to\infty}{\sim\,} (1-p_n)^{(n-k)}\,\,\frac{(n p_n)^k}{k!} \)

\( \displaystyle ~~ \underset{n\to\infty}{\sim\,} (1-p_n)^n\,\,(1-p_n)^{-k}\,\,\frac{(n p_n)^k}{k!} \)

\( \displaystyle ~~ \underset{n\to\infty}{\sim\,} \Big(1-\frac{n p_n}{n}\Big)^n\,\,(1-p_n)^{-k}\,\,\frac{(np_n)^k}{k!} \)

Enfin, nous passons à la limite :

\( \displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty} P(X_n = k) = e^{-\lambda}\times 1\times\frac{\lambda^k}{k!} \)

■

Testons !

On considère généralement que la loi binomiale \( {\cal B}(n; p) \) peut-être approchée par une loi de poisson si \( {\cal P}(np) \) si :

Cas n°1 : \( n \geqslant 20 \) et \( p \leqslant 0.01 \)

Cas n°2 : \( n \geqslant 100 \) et \( p \leqslant 0.1 \)

Testons ces approximations sur GeoGebra !
Les probabilités sont données en pourcentage, pour plus de lisibilité.

Cas n^o1

On constate bien que les résultats sont proches !

Cas n^o2

Encore une fois, l'approximation est tout à fait pertinente !