Dans tout ce qui suit, \( (X_n) \) désigne une suite de variables aléatoires réelles, indépendantes et identiquement distribuées, définies sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

Supposons que la loi suivie par les \( X_n \) possède une espérance, et notons

\( \mu = E(X_1) = {\small\dots} = E(X_n) \)

Posons enfin :

\( S_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n X_i \)

\( \overline{X_n} = \dfrac{1}{n} S_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i \)

1. Loi faible des grands nombres

La suite \( (\overline{X_n}) \) converge vers \( \mu \) en probabilité.

Autrement dit, pour tout \( \epsilon > 0 \),

\( \displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} p\bigl(|\overline{X_n} - \mu| > \epsilon\bigr) = 0 \)

2. Loi forte des grands nombres

La suite \( (\overline{X_n}) \) converge vers \( \mu \) presque surement.

Autrement dit,

\( \displaystyle p \left(\lim_{n\rightarrow +\infty} \overline{X_n} = \mu\right) = 1 \)

Ainsi, la loi forte des grands nombres implique la loi faible !