La loi hypergéométrique étudie la dispersion d'un caractère de sa population sur un sous-population.

Intuitivement, elle ressemble fortement à la loi binomiale, mais diffère dans son échelle : \( n \) et \( N \) sont suffisamment proches pour que le choix aléatoire d'un individu sans remise impacte la modélisation de la situation.

Mathématiquement, cela signifie que faire tendre \( N \) vers l'infinie dans la formule de la loi hypergéométrique doit faire apparaître la loi binomiale.

Dans tout ce qui suit, \( N \), \( n \), \( k \) sont des entiers naturels non nuls.
De plus, \( p \in [0; 1] \) tel que \( pN\in{\mathbb N} \).

Étude préliminaire

Commençons par rappeler que :

\( \displaystyle \binom{N}{n} = \frac{N\times(N-1)\times ... \times (N-n+1)}{n!} \)

Nous passons aux équivalences, pour tout \( n\in{\mathbb N} \) :

\( \displaystyle \binom{N}{n} \underset{N\to\infty}{\sim\,} \frac{N^n}{n!} \)

De manière tout à fait similaire :

\( \displaystyle \binom{pN}{k} \underset{N\to\infty}{\sim\,}\frac{p^k N^k}{k!} \)

\( \displaystyle \binom{(1-p)N}{n-k} \underset{N\to\infty}{\sim\,}\frac{ (1-p)^{n-k}N^{n-k} }{ (n-k)!} \)

Application

Revenons à la définition de la loi hypergéométrique.

Soit \( X \) une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé discret \( (\Omega, P) \). \( X \) suit la loi hypergéométrique de paramètres \( n \), \( p \), \( N \) si pour tout \( k\in\left[\!\left[0, n\right]\!\right] \) :

\( \displaystyle P(X = k) = \frac{\displaystyle\binom{pN}{k}\times\binom{(1-p)N}{n-k}}{\displaystyle\binom{N}{n}} \)

Nous passons donc aux équivalences :

\( \displaystyle P(X = k) \underset{N\to\infty}{\sim\,} \frac{p^k N^k}{k!} \times \frac{ (1-p)^{n-k}N^{n-k} }{ (n-k)! } \times \frac{n!}{N^n} \)

\( \displaystyle P(X = k) \underset{N\to\infty}{\sim\,} \frac{p^k}{k!} \times \frac{ (1-p)^{n-k} }{ (n-k)! } \times n! \)

\( \displaystyle P(X = k) \underset{N\to\infty}{\sim\,} \binom{k}{n} p^k (1-p)^{n-k} \)

Nous reconnaissons l'expression de la loi binomiale !

En pratique !

On considère généralement que la loi hypergéométrique est approximable par la loi binomiale associée dès que \( N > 10n \).